| 研究概要 |
1.Lerchゼータ関数の高階導関数の特殊値:以下,sを複素変数,a,λを実数パラメタ,a>0とし,φ(s, a,λ)で級数Σ^∞_<n=0>e^<2πiλn>(n+a)^<-s>を全s平面に有理型に接続したLerchゼータ関数を表す.本研究ではまずφ(s, a+z,λ)のz→∞(|arg z|<π)における漸近展開を導き,これを高階導関数の特殊値,R_<k, m>(z,λ)=(-1)^<k+1>(∂/∂s)^kφ(λ,z, s)|_<s=-m>(k, m=0,1,...)の研究に応用した.ここでの成果として,R_<k, m>(z,λ)のTaylor展開公式・Gauss型公式・Weierstrass型公式・Plana型公式を証明することが出来た.結果は"Power series and asymptotic series associated with the Lerch zeta-function : applications to higher derivatives"として纏められ,欧文学術雑誌に投稿予定である.
2.Lerchゼータ関数の多重二乗平均:Lerchゼータ関数の特別な場合であるHurwitzゼータ関数ζ(s,1+x)はRiemannゼータ関数ζ(s)=ζ(s,1)の各項のnをn+x(n=1,2,...)にshiftしたものとみなせる.研究代表者は,以前[Collect.Math.48(1997)]において得た,Lerchゼータ関数のパラメタxに関する二乗平均∫^1_0|φ(s,1+x,λ)|^2dxのt=Ims→±∞における完全漸近展開を,最近統計的な観点から一般化し,多重二乗平均∫^1_0【triple bond】∫^1_0|φ(s, a+x_1+【triple bond】+x_m,λ)|^2dx_1【triple bond】dx_m(a>0は定数;m=1,2,...)についても同様の完全漸近展開が存在することを証明した.結果は論文"An application of Mellin-Barnes type of integrals to the mean square of Lerch zeta-function II"として纏められ,現在欧文学術雑誌に投稿中である.
3.Epsteinゼータ関数とその積分変換:z=x+iyを複素上半平面のパラメタとするとき,二次形式Q(u, v)=|u+vz|^2に対応するEpsteinゼータ関数ζ_<Z^2>(s ; z)が,ζ_<Z^2>(s ; z)=Σ^</∞>_<m, n=-∞>Q(m, n)^<-s>(m=n=0となる項を除く)およびその全s平面上の有理型関数への接続として定義され,(整数論的)二次形式の研究に重要な役割を果たしている.研究代表者は最近,ζ_<Z^2>(s ; z)及びその(Poisson分布型重み付平均ともみなせる)Laplace-Mellin変換に対し,それらのy=Im z→+∞における完全漸近展開を導いた.結果は論文"Complete asymptotic expansions associated with the Epstein zeta-function"として纏められ,現在欧文学術雑誌に投稿中である.
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