量子群の組合せ論的表現論

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640043
• 研究機関: 上智大学
• 研究代表者: 中島 俊樹 上智大学, 理工学部, 助教授 (60243193)
• 研究分担者: 五味 靖 上智大学, 理工学部, 助手 (50276515) ; 横沼 健雄 上智大学, 理工学部, 教授 (00053645) ; 筱田 健一 上智大学, 理工学部, 教授 (20053712)
• キーワード: 量子群 / 結晶基底 / 組みひも群 / 多面体表示 / 極大巡回表現 / coinvariant代数 / ヘッケ環 / ガウス和

研究概要

量子群の表現論と、それにまつわる組み合わせ論について、いくつかの立場から研究を行った。まず、研究代表者は量子群の表現論において、その重要性を増している結晶基底の理論について多面体表示の手法で研究を行った。多面体表示とは、無限階数の整数格子内に結晶基底を埋め込み、ある凸多面体内の格子点の集合として、結晶基底を実現する方法である。この手法の特徴は具体的な計算などが可能になる点であり、例えば、いくつかのタイプの量子群はその結晶基底が具体的に多面体内に実現されている。また、extremal vectorとよばれる表現論において重要な元も多面体上のある点として、記述されることを明確にした。また、研究代表者は1の巾根における量子群についても考察を行い、A型の場合に非制限型とよばれる量子群と制限型のよばれる量子群の表現論について論じた。具体的に述べると極大巡回表現といういくつかの連続パラメーターを含む非制限型量子群の加群を用いて、そのパラメーターを特殊化することにより制限型量子群の既約加群を得ることに成功した。また、そうして得られた加群と無限小ヴァーマ加群というものとの構造の比較も行った。
筱田は有限シュバレー群、Hecke環について研究を行った。まず、シュバレー群 $G_2(q)$につき、その7次のモジュラー表現と11個の巾単既約表現につき対応するガウス和を具体的に求めた。さらに、証明の過程で有限体上のさまざまな和に関する関係式も得た。また、有限体上のn次一般線型群のGelfand-Graev表現について、そのHecke環の表現と指標値について考察した。特に、ある元の上での指標値は一般Kloosterman和どなることを示した。
五味は組み合わせ論的な手法、とくに、Reidemeister-Schreier theoremによりCoxeter群に付随したpure braid群の表示を行った。

研究成果

• [文献書誌] T.Nakashima: "Polytopes for Crystallized Demazure Modules and Extremal Vectors"Communications in Algebra. 30,3. 1349-1367 (2002)
• [文献書誌] T.Nakashima: "Irreducible Modules of Finite Dimensional Quantum Algebras of type A at roots of unity"Journal of Mathematical Physics. 43,4. 2000-2014 (2002)
• [文献書誌] T.Nakashima, M.Kaneda: "On certain maximal cyclic modules for the quantized special linear algebras at a root of unity"Pacific Journal of Mathematics. 211,2. 273-282 (2003)
• [文献書誌] T.Nakashima: "Extremal Projectors of $q$-boson algebras"Communications in Mathematical Physics. 244. 285-296 (2004)
• [文献書誌] K.Shinoda, N.Saito: "Some character sums and Gauss sums over $G_2(q)$"Tokyo Journal of Mathematics. 24. 277-289 (2001)
• [文献書誌] K.Shinoda, C.W.Curtis: "Zeta functions and functional equations associated with the components of the Gelfand-Graev representations of a finite reductive group"Advanced Studies in Pure Mathematics. (to appear).
• [文献書誌] Y.Gomi, F.Digne: "Presentation of pure braid groups"Journal of Knot Theory. 10,4. 609-623 (2001)
• [文献書誌] Y.Gomi, I.Nakamura, K.Shinoda: "Coinvariant Algebras of finite subgroups of SL(3,C)"Canadian Journal of Mathematics. (to appear).