| 研究概要 |
この研究の目的は代数体の単数の分布を調べることである。いろいろな見方があると思われるが、我々の取った見方は類体論と解析数論を基礎にしている。類体論を基礎にする理由は代数体Fの整イデアルAに対してそれを導手にもつFのアーベル拡大体が決まり、その拡大次数がFの類数とAを法とした剰余類の中での単数のなす部分群による指数との積となることが知られている。類数は非常に良く調べられているのに対し、指数についてはほとんど何も調べられていなかったといってよい。また単数の分布といっても曖昧な問題提起で何をどう定式化すればよいのかがなかった。そこでこの指数の値の分布が単数の分布の反映であるととらえる観点を採用しそれを解析的整数論の手法を用いて調べようとした。手始めに実2次体と実3次体で判別式が負のものについてかなり詳細に調べ様子を見た。これらはNagoya Math.,Journal of Number Theoryから既に出版された。問題は2次体や3次体に限らず一般の代数体で問題をどのように定式化するかであったがそれは一応完成した。しかしながらこれは素イデアルを法として調べたものでありより深く知るにはすべてのイデアルを対象にしなければならない。しかしながらいきなりそこへは定式化から難しく、取り敢えず素イデアルではなく有理素数を法とする場合を試みつつあり,単数群のランクが1の場合はなんとか見通しがついた。ランクが2以上のときは様子が複雑でありもっと実験をして情報を集める必要があることがわかった。
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