| 研究概要 |
Leopoldt予想は,有理数体Qあるいは虚二次体上のアーベル拡大体については証明されているが,その証明は解析的な方法によるものである.純粋に代数的な方法よる証明が実現すれば,それは単数群に関する新たな知見を与えるものになると思われる.この方向の研究はいろいろと行われているが,私は円単数のフェルマー商,岩澤によるLeopoldt予想の言い換え,シュバレーの定理などを用いて十分条件を調べた.
円分体については,Qに1の原始p^r乗根を添加した円分体の類数について,それがpと異なる奇素数lで割り切れるか否かについて調べた.必要十分条件はYoshino(Abh.Math.Sem.Univ.Hamburg 69,1999)により与えられているが,実際の判定は計算機を用いなければならない.この必要十分条件を導く過程で円単数のフェマー商が用いられている.このフェルマー商は私(Abh.Math.Sem.Univ.Hamburg 67,1997)が以前に調べたものと同一のものである.私はフェルマー商の性質を用いて類数がlで割り切れないための十分条件を調べた.
実二次体については,奇素数pと自然数nが与えられたとき,pが分解し,pを割る素イデアルが属すイデアル類の位数がnであるような実二次体が存在するか否かについては,一般には(abc予想などの仮定がなければ)nが2のべきの揚合のIchimuraの結果が知られているだけである.私は,nが奇素数のべきの場合について調べた.
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