| 研究概要 |
Leopoldt予想についてこれまで得られている結果の中で最も重要なものはA.Brumerの定理である,それは高度に解析的な方法によって得られたものである。この定理を純粋に代数的な手法で証明することは代数的方法の大きな進展を伴うはずであるので,多くの研究者が取り組んできた。私の研究においては,次の事が成果として挙げられる.
アーベル拡大K/kにおいて,kでLeopoldt予想が成り立ち,更にK/kのすべての巡回的中間体でLeopoldt予想が成り立てばKにおいても成立する事は既知であったが,私は相対単数を用いる別証明を得た(Tokyo Metropolitan Univ. Preprint Series 2004:No.9).kが有理数体で,Kが素数q次の巡回拡大のとき,pがqを法として原始根ならばLeopoldt予想が成立する事は証明されている.これ以外の条件での予想の成立について調べq=3の場合に結果を得,それによりKが有理数体上(3,…,3)型アーベル拡大のときにすべての素数p(>3)についてLeopoldt予想の成立を示す事ができた.現在,一般の素数qの場合を調べている.
本研究においては,単数のZp上の独立性を扱う上でそのフェルマー商を用いる.これを詳細に調べる事は非常に難しいが,円単数のフェルマー商については私の論文(Acta Arithmetica vol.76 (1996)及びAbh.Math.Sem.Hamburg 67 (1997))によってある程度分かっている.また,それらを用いる事によってLeopoldt予想以外の成果を得る事もできた(Abh.Math.Sem.Hamburg 71 (2001)).これらを準備とし,その成果をモデルに円分拡大とは異なるアーベル拡大体について研究を進めた.
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