| 研究課題/領域番号 |
13640062
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
久我 健一 千葉大学, 理学部, 教授 (30186374)
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| 研究分担者 |
稲葉 尚志 千葉大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (40125901)
杉山 健一 千葉大学, 理学部, 助教授 (90206441)
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| 研究期間 (年度) |
2001 – 2004
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| キーワード | 3次元多様体 / 双曲構造 / Kashaev不変量 / colored Jones不変量 / 体積予想 / L^2トージョン / Chern-Simons不変量 / 位相的場の理論 |
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| 研究概要 |
本研究では、Chern-Simons位相的場の理論と双曲構造の関連の中で明確な問題の形をとる体積予想について、その問題の本質的理解と予想の解決を目標とする研究を行った。問題の本質はKashaevのR行列(Colored Jones不変量に対するR行列)に基づく非摂動的アプローチとChern-Simons位相的場の理論への(体積予想の成立を強く示唆する)摂動的アプローチの深い差にあることがわかった。この問題は一般的な経路積分の数学的厳密化という深い問題と関連していた。そこで我々は2つのアプローチをとった。一つは双曲結び目の基本群の表示を用いて技巧的に体積予想の解決に迫るアプローチともう一つはより本質的、総合的理解を目指して、R行列等の地道な研究を続けるというアプローチである。はじめのアプローチについては、基本群のある特殊な生成系と関係子を選ぶと、そこから得られるL^2トージョンがダイログ関数によるKashaev不変量の極限の表示ときわめて似てくるという事実を見つけ、問題をこの2つの極限値が一致することをみることに帰着した。L^2トージョンの計算に関して結び目群のワード問題に関するWaldhausen、Lyndonによってかなり具体的なアルゴリズムが与えられていことに注目したが、予想の最終解決には至っていない。第二のアプローチに関しては研究代表者と院生の福田によってR行列に関するDrinfel'dの量子2重化のツイスト版が得られたほか、研究分担者の杉山によって結び目に関する位相的L関数の定義等の結果がえられた。
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