| 研究概要 |
本研究の対象は、リーマン幾何学の範疇での等質空間並びに局所等質空間である。リーマン多様体の本質的な局所不変量である曲率テンソルR及びその共変微分▽R,▽^2R,...,▽^iR,...と等質性に関わる次のような課題を追求し、合わせて曲率テンソルのより深い理解に寄与することを目的に研究を進めた。
1.Singer不変量
局所等質空間に対し、曲率テンソル及びその共変微分のデータから定まる非負整数があり、これを研究の先駆者の名をとりSinger不変量と呼ぶ。具体的な等質空間についてそのSinger不変量を求めることを課題のひとつとした。Generalized Heisenberg groupsと呼ばれる左不変計量をもつ冪零リー群のあるクラスについて、そのSinger不変量を求めることができた。研究課題として挙げた他の等質空間のSinger不変量の計算に引き続き取り組み、これらの結果をまとめ論文としたい。
これまで求められている等質空間のSinger不変量は0か1であり、Singer不変量が2以上となる等質空間の例を見出すことをひとつの目標として研究を進めてきた。つい最近、Meusersによって、任意の自然数に対してそれをSinger不変量としてもつ等質空間の例が構成された。先を越されたことは残念であるが、Singer不変量の立場からMeusersの構成した例を特徴付けることを課題に研究を進めたい。
2.対称性の大きい曲率テンソルをもつ局所等質空間あるいは曲率等質空間の分類
曲率テンソルRに対しRを保つような線形等長変換全体のなすLie群の単位連結成分をG_0とする。このとき、次のような問題に取り組み、成果を得た。
"G_0が大きいような曲率テンソルをもつ局所等質空間あるいは曲率等質空間を分類せよ"G_0=SO(r)×SO(n-r)orSO(n-2)あるいはG_0が単位球面に推移的に作用する場合などに解答を与えることができた。この結果は論文としてまとめられ、Comment. Math. Univ. Carolinaeに発表される予定である。
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