| 研究概要 |
単体を張り合わせた空間、定曲率空間を張り合わせた空間、アレキサンドルフ空間、区分的に滑らかなリーマン計量等の研究は、境界付きリーマン多様体を張り合わせた空間の研究と密接に関連しているので、これらの研究がどのように進められているか、文献を調べたり、専門家から聞いたりしながら詳細に研究する。本年度の研究計画では、以下のことを特に目標とした。張り合わせ方法は、空間の曲率の概念、に対応しているので、リーマン幾何学における曲率と幾何構造の関係に関する研究を中心に置いて研究する。組み合わせ論的な方法ではなく、張り合わせ部分において、ラプラシアンやヤコビベクトル場等がどれだけずれるかを調べる方法をとる。位相構造や幾何構造が、この局所的なずれと全体としてのずれにどのような影響を与えるかを研究する。従来の幾何構造研究の方法が適用できる範囲を決定する。
貼り合わせた部分を乗り越えて進む測地線に沿うヤコビベクトル場が、張り合わせ部分でどのように変化するかの論文が印刷された。また、東京理科大の滝口氏は、貼り合わせる多様体の次元が異なる場合にもラウチの比較定理を計算に載せることに成功した。次は,トポノゴフの比較定理が成立するかが問題になる。そこまで研究が進めば、位相構造や幾何構造の研究が可能となるが、本年度の研究ではここまで進めなかった。
境界を持つリーマン多様体をビリヤード台と考えて、境界で反射する測地線の挙動を調べることを考える。調べようとする測地線に沿って境界の貼り合わせを行い、その張り合わせ多様体上で解析することが有効である場合があることをブーラゴは示した。研究の初期段階としてはいくつかの問題点が発見され、来年度以降の研究の方向がはっきりしてきた。
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