ガウス写像の幾何学

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640073
• 研究機関: 島根大学
• 研究代表者: 木村 真琴 島根大学, 総合理工学部, 教授 (30186332)
• 研究分担者: 服部 安直 島根大学, 総合理工学部, 教授 (20144553) ; 前田 定廣 島根大学, 総合理工学部, 教授 (40181581)
• キーワード: 微分幾何学 / ガウス写像 / 極小部分多様体 / 特殊ラグランジュ性

研究概要

まず、球面内のガウス写像が退化する部分多様体について研究した。ガウス写像が一定であることと部分多様体が全測地的であることが同値なので、ガウス写像の階数は、その部分多様体が大球にどれだけ近いかを表すと考えられる。その階数についてはFerusによる不等式が知られている。また、ガウス写像の微分の核がつくる葉層構造の各leafは球面内の大球の一部となるので、逆に大球によってfoliateされた部分多様体があるとき、いつその各leaf上でガウス写像が一定となるかが問題になる。本研究では、実グラスマン多様体内の部分多様体に対して、その上の球面束を考える事により、大球によってfoliateされた部分多様体の一般的な構成法を与えた。さらに、複素2次曲面内の複素部分多様体上のあるcircle bundleと四元数対称空間上のツイスター空間を考えることにより、部分多様体上の球面束の各ファイバー上でガウス写像が一定となり、特別な場合にはFerusの等式を満たすことを示した。そして、球面内のaustere部分多様体を構成し、複素ユークリッド空間内の特殊ラグランジュ錐が構成できることもわかった。また、複素2次曲面内の曲線の合同性についても、スペイン・グラナダ大学のM. Ortegaと共同研究を行った。その場合、いままで知られていた不変量である、曲線の曲率や複素torsionの他に、接空間内の球面上のisoparametric関数とその一般化が重要になる。

研究成果

• [文献書誌] G.Ishikawa, M.Kimura, R.Miyaoka: "Submanifolds with degenerate Gauss mappings in spheres"Adv. Studies in Pure Math.. 37. 115-149 (2002)
• [文献書誌] U-Hang Ki, M.Kimura, S.Maeda: "Geometry of holomorphic distributions of real hypersunfaces in a complex projective space"Czec. Math. J.. 51. 197-204 (2001)
• [文献書誌] By Chen, S.Maeda: "Hopt hypersurfaces with constant principal curvatures in complex projective in hyperbolic space"Tokyo J. Math.. 24. 133-152 (2001)
• [文献書誌] T.Adachi, S.Maeda, M.Yamagishi: "Length Spectrum of Geodesic spheres in a non-tlat complex space form"J. Math. Soc. Japan. 54. 373-408 (2002)
• [文献書誌] K.Suizu, S.Maeda, T.Adachi: "Characterization of totally geodesic kahler immersions"Hokkaido Math. J.. 31. 629-641 (2002)
• [文献書誌] Y.Hattori, K.Hashimoto: "On the Nagata's star-incle-*_k"Topology and its appl.. 122. 201-204 (2002)