| 研究課題/領域番号 |
13640074
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 総合科学部, 助教授 (50192894)
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| 研究分担者 |
今野 均 広島大学, 総合科学部, 助教授 (00291477)
中山 裕道 広島大学, 総合科学部, 助教授 (30227970)
宇佐美 広介 広島大学, 総合科学部, 助教授 (90192509)
山口 佳三 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00113639)
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| 研究期間 (年度) |
2001 – 2003
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| キーワード | 曲率 / 微分方程式 / 主バンドル / 特性類 / ヴェイユ代数 / 射影余次元 / plethysm / 分解公式 |
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| 研究概要 |
曲率の満たす1階の微分方程式として、古典特性類を表す微分形式が閉になる、という形のものが知られているが、1階の微分方程式はこの形のもの以外にも存在する。そのような微分方程式を得るための枠組み作りとして、古典特性類の場合のWeil代数にあたるものを非可換化した、ある種の普遍代数を構成することを試みた。まだ最終的な構成は完成していないが、この研究の過程において、曲率の1階微分方程式はbasic、つまり古典特性類と同様に底多様体に落とせるタイプのテンソル場として表現できることが示せた。
曲率を微分方程式で特徴付けるためには、1階の微分方程式を考えるだけでは不十分であり、更に高階のものを考察する必要がある。主バンドルの構造群が半単純であれば2階のものまで考えれば十分であることがわかっており、その意味で特に2階の微分方程式について考察することが重要な課題である。これに関して構造群が2階べき零リー群の場合について、この種の微分方程式を具体的に把握する方法を編み出した。この結果を用いて、いくつかのべき零リー群の場合に、独立な微分方程式の個数を計算することができた。
また、本研究の最終的な課題である、多様体上の平坦な幾何構造の存在性の判定に関しては、リー群上の射影余次元の研究を行った。射影余次元と中心アファインはめ込みとの関連について調べ、いくつかのリー群に対して射影余次元の値を確定した。これにより、リー群の構造とその上に存在する不変な射影構造の平坦性についでの関連を数値化することに成功した。
更に、以上述べたような計算を実行するための基盤となる、表現論に関する研究を行った。いくつかの型のplethysm、Littlewood-Richardson則の分解公式を表す母関数を具体的に求めることができた。
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