| 研究概要 |
昨年度,トーラス上の向きを保つ同相写像の不動点に関して得た結果を一般の曲面に拡張することができた。具体的には,不動点に関する2種の位相不変量(不動点指数,組ひも不変量)について考察し,以下の成果を得た。
1.不動点全体の集合に組ひも不変量を用いて同値関係が導入できることを示し,すべての同値類の不動点指数は常に1以下であることを示した。
2.不動点類の不動点指数は位相不変であること,すなわち,写像を連続変形して不動点全体の組ひも不変量が同一である写像に変形されたとき,各不動点類の不動点指数は変化しないことを証明した。
3.1つの元しか含まない同値類が存在し,さらにその元の不動点指数が1であるならば,写像の位相エントロピーは正値を取ることを示した。これは,不動点の位相幾何的性質が,写像の重要な力学系的性質の一つであるカオス性と関連があることを示している。
4.不動点の同値類が2個以上の不動点を含むならば,それら不動点の内,少なくとも1個は不安定不動点であることを示した。
5.4の結果は,不安定不動点を含む同値類の個数はある程度多いことを示唆しているが,実際,不安定な元を含む同値類全体の個数は,そうでない同値類全体の個数から曲面の種数を引いたものより大きいことが証明できた。
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