| 研究概要 |
Instantonsのmoduli空間にはそれを開集合として含むUhlenbeck completionがあり,gauge理論において1つの中心的研究手段である.本研究の目的はS^2から複素多様体Vへの有理関数空間に同様の完備化を定義し,その位相幾何を調べることである.
まず典型的な場合であるV=CP^nのときを考える.Rat_k(CP^n)でS^2からCP^nへの基点を保つdegree kの正則写像空間を表す.i_k : Rat_k(CP^n)→Ω^2_kCP^n【similar or equal】Ω^2S^<2n+1>を包含写像とする.Segalによりi_κはκ(2n-1)次元までホモトピー同値であり,更にRat_k(CP^n)の安定ホモトピー型は報告者及びそれとは独立にCohen-Cohen-Mann-Milgramにより,Ω^2S^<2n+1>のstable summandsを用いて記述されていた.
Rat_k(CP^n)は共通根を持たないmonicな複素k次多項式の(n+1)組を表示されるがこれを一般化してX^l_k(CP^n)を高々l個の共通根を持つmonicな複素k次多項式の(n+1)組とする.X^0_k(CP^n)=Rat_k(CP^n)であり,X^k_k(CP^n)=C^<k(n+1)>である.本研究では後者が前者のUhlenbeck完備化であることを証明した.つまりX^l_k(CP^n)はRat_k(CP^n)がその完備化に移行していく空間なのである.更にX^l_k(CP^n)の安定ホモトピー型を決定することに成功した.
次にCP_nをloop群ΩGに一般化したときの有理関数空間(これは正にinstantonsのmoduli空間である)の完備化を研究した.研究過程で次のことも分かった.SU(2)のGにおける中心化群を0とおきJ : G/C→Ω^3_0GをJ(gC)(x)=gxg^<-1>x^<-1>とおく.このときJ_*:H_*(G/C ; Z/2)→H_*(Ω^3_0G ; Z/2)は単射である.この結果はBottによるΩGのgenerating mapsに関する定理の一般化でありこれ自身大変興味あるものである.
|
