| 研究課題/領域番号 |
13640087
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 大阪市立大学 |
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研究代表者 |
枡田 幹也 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00143371)
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| 研究分担者 |
橋本 義武 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20271182)
日比 孝之 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80181113)
高倉 樹 中央大学, 理工学部, 講師 (30268974)
古澤 昌秋 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50294525)
河内 明夫 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00112524)
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| 研究期間 (年度) |
2001 – 2002
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| キーワード | トーリック多様体 / 扇 / 凸体 / 組合せ論 / トポロジー / face ring / 同変コホモロジー / 楕円種数 |
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| 研究概要 |
代数幾何におけるトーリック多様体論をトポロジーの観点から展開した。ここ数年来の服部晶夫氏との共同研究により、トーラス多様体の幾何学的性質が、多重扇という組合せ論の言葉で表現できることが判明した。特に、トーラス多様体の楕円種数が多重扇の言葉で綺麗に記述できることを見つけ、2n次元のトーラス多様体の第1Chern類がNで割れるとき、レベルNの楕円種数が常に0であるという消滅定理を得た。この消滅定理の系として、複素n次元トーリック多様体Mの第1Chern類がNで割れるならば、Nはn+1以下であり、さらにN=n+1ならばMは複素射影空間であることが判明した。これは、有名な小林-落合、森の定理のトーリック多様体版である。
平成14年11月から1ヶ月余り、Taras Panov氏(モスクワ大学)を招聘して、トーラス多様体の同変コホモロジーおよびその軌道空間のコホモロジーに関して研究を行った。その結果、コホモロジー環が次数2の元で生成されているトーラス多様体の場合、同変コホモロジーはStanley-Reisner環であり、その軌道空間はコホモロジーの観点からは単純凸多面体と同様であることが判明した。トーラス多様体のコホモロジー環が必ずしも次数2で生成されていないが、奇数次のコホモロジーが消えている場合の研究も行った。この場合、次数2で生成されている場合を言わばblow downしたものと思えることが判明した。特に面白いことに、その同変コホモロジーは、単体複体に対して定義されているStanley-Reisner環を拡張したものになっている。このような環は10年ほど前に既にStanleyによって定義されていたが、我々の研究はその環の幾何学的な解釈を与えたと言える。この研究の延長として、Gorenstein^* simplicial Posetのh-vectorに関するStanleyの予想が証明できた。その証明は全く代数的であるが、アイデアはトポロジーにあり、組み合わせ論・可換環論とトポロジーとの密接な関連を示唆している。
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