無限次元確率モデルの数学解析

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640103
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 志賀 徳造 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (60025418)
• 研究分担者: 角 大輝 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (40313324) ; 白井 朋之 金沢大学, 理学部, 助教授 (70302932) ; 盛田 健彦 広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00192782) ; 野村 祐司 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (40282818) ; 原 隆 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (20228620)
• キーワード: 方物型アンダーソンモデル / リヤプノフ指数 / 向きをもつポリマーモデル / Strong disorder / アンダーソン局在

研究概要

上記研究課題について研究を遂行し、次の成果を得た.
1.Lyapunov exponent of parabolic Anserson model with Levy's noise.
Space-time Gaussian white noiseをpotentialにもつ離散型Schoedinger作用素に対する方物型方程式をParabolic Anderson modelといい、その解の指数的オーダーを示す特性指数Lyapunov exponentの存在および拡散定数kが小さいときの漸近解析は1980年代後半にMolchanovを含む旧ソ連の数学者達のより提起された。諸々の中間的な結果を経たあとSpace-time Gaussian white noiseの場合にはLyapunov exponentの漸近オーダーが正確に(log k^<-1>)^<-1>の定数倍になることとその定数の特徴づけをCarmona-Koralov-Molchanovおよび申請者とCranston-Mountfbrdとの共同研究により独立に示された。(この結果はActa Math.Univ.Come.に掲載された。)この論文ではLyapunv exponentの初期値に関ついての不依存性の問題の解決も含んでいる。
さらにPotentialがLevy's noiseの場合に取り組み、対応するLevy measureの正の部分が指数的モーメントをもつクラスではLyapunov exponentの漸近オーダーはSpace-time Gaussian white noiseの場合と同じで、定数がある種のLevy's functionalの変分原理で表わされるという結果を得た。これはCranston-Mountfordとの共同論文として発表の予定である。
2.Directed Polymers in Random Environment : Path Localization and Strong Disorder
ランダムな環境の中でのDirected polymer modelの問題は低次元の場合、常にstrong disorderがあらわれることが予想されているが、数学解析的な結果は殆んどなかった。本研究では正規化分配関数の漸近挙動を調べ、その指数的減衰と自然な意味での道の局所性が同値であること、さらに1次元の場合にはすべてのパラメタ領域でexp-n^<1/3>のオーダーで減衰することを示した。この結果はCommet-Yoshidaとの共同論文としてBernoulliに掲載予定である。
3.Anderson localization for 2D discrete Schroedinger operator with random magnetic fields
研究分担者の野村はF.Klopp, S.Nakamura, F.Nakanoと共同研究で2次元のランダム磁場Schroedinger作用素のスペクトルの下端において、Anderson局在が生じることを証明した。

研究成果

• [文献書誌] S.N.Ethier, T.Shiga: "Fleming-Viot process with unbounded selection, II"Proceeding on Markov Processes and Controlled Markov Chains Kluwer Acad. Pub., eds Z.Hou, J.A.Filar and A.Chen. 123. 234-240 (2002)
• [文献書誌] M.Cranston, T.S.Mountford, T.Shiga: "Lyapunov Exponents for the Parabolic Anderson Model"Acta Mathematica Univasitatis Comenianae. 71. 161-184 (2002)
• [文献書誌] T.Shirai, H.J.Yoo: "Glauber dynamics for fermion point processes"Naoya Mathematical Journal. 168. 139-166 (2002)
• [文献書誌] T.Shirai, Y.Takahashi: "Random point fields associated with certain Fredholm determinants II : Fermion shifts and their ergodic and Gibbs properties"Annals of Probability. (掲載予定). (2003)
• [文献書誌] F.Comets, T.Shiga, N.Yoshida: "Directed Polymers in Random Environment : Path Localization and Strong Disorder"Bernoulli. 9. 1-19 (2003)
• [文献書誌] Z.Li, T.Shiga, M.Tomisaki: "A Conditional Limit Theorem for Generalized Diffusion Processes"Journal of Mathematics of Kyoto University. (掲載予定). (2003)