巨大基数的性質を持っているイデアルの研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640113
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 松原 洋 名古屋大学, 大学院・人間情報学研究科, 助教授 (30242788)
• 研究分担者: 塩谷 真弘 筑波大学, 数学系, 講師 (30251028) ; 阿部 吉弘 神奈川大学, 工学部, 助教授 (10159452) ; 吉信 康夫 名古屋大学, 大学院・人間情報学研究科, 助手 (90281063)
• キーワード: 集合 / 巨大基数公理

研究概要

松原とS. Shelahは任意の非可算正則基数κと強極限特異基数λ>κに対し,P_κλ上のnon-stationaryイデアルがnowhere precipitousとなることを証明した.更にこの条件の下ではP_κλの任意のstationaryな部分集合はP_κλの濃度個のstationaryな部分集合に分割出来ることを証明した.つまりMenasの予想が強極限特異基数λに対しては成立することが示された.
松原は無限ゲームの概念を使ってstrategically closedというイデアルの性質を定義した.また後続基数κ>N_1に対し,このような性質を持ったイデアルが存在するモデルをsupercompact基数を使って構成した.更にこのようなイデアルの存在を仮定すればsingular cardinal hypothesisやRadoの予想が肯定的に解決できることを証明した.
P_Iを用いてgeneric拡大をしたときにP_κλの部分集合のstationarityが保存されるようなイデアルIをstationary preserving idealと呼ぶことにする.松原はstationary preserving idealが巨大基数的性質を持っていることを示した.例えばλが非可算基数でδがλより十分大きい基数であれば、今P_<λ^+>δ上のstationary preserving idealの存在を仮定すればP_κλ上のnon-stationaryイデアルがprecipitousとなることが示された.

研究成果

• [文献書誌] Y.Matsubara, S.Shelah: "Nowhere precipitousness of the non-stationary ideal over P_κλ"Journal of Mathematical Logic. 2. 81-89 (2002)
• [文献書誌] M.Shioya: "Generating the club filters on P_κλ"Topology and it's Applications. 122. 415-419 (2002)
• [文献書誌] Y.Matsubara: "Stronger ideals over P_κλ"Fundamenta Mathematicae. 174. 229-238 (2002)
• [文献書誌] T.Ishiu, Y.Yoshinobu: "Directive tree and games on posets"Proceedings of the American Mathematical Society. 130. 1477-1485 (2002)