半正定置計画の組合せ最適化への応用と解法の研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640114
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 田村 明久 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (50217189)
• 研究分担者: 大浦 拓哉 京都大学, 数理解析研究所, 助手 (50324710) ; 藤江 哲也 神戸商科大学, 商経学部, 助手 (40305678) ; 室田 一雄 東京大学, 大学院・情報理工学系研究科, 教授 (50134466)
• キーワード: 半正定値計画 / 離散凸解析 / アルゴリズム

研究概要

研究実績は以下のとおり.
本研究課題では、本年度は以下のような進展があった。最適化問題とその緩和問題の最適解の距離を見積ることができれば緩和問題の最適解の周辺に実行可能領域を制限し、元の最適化問題を効率的に解くことができる。このような元問題と緩和問題の最適解の距離に関する性質を近接性とよぶ。1)田村と室田は、各種の離散凸関数の最小化問題とスケーリングを用いた緩和問題における最小解の距離を議論し、2つのM凸関数の和で定義されるM2凸関数の近接性を明らかにした。2)田村は2つのL凸関数の合成和として定義されるL2凸関数に対して、合成和を等号で達成するような新たなL凸関数の合成和が存在することを示した。この性質を用いることで、L2凸関数に関する近接性などの諸性質が容易に証明できる。3)室田は、M凸劣モジュラ流問題に対する多項式時間解法を提案した。4)藤江は、半正定値計画のフィルタリングへの応用を念頭におき、線形計画緩和を利用したデザイン法を提案した。これらの成果は、国際会議での発表および学術雑誌への投稿を行なった。上記の2),3)の成果についてはOptimization Methods and Softwareに採択され、掲載予定である。4)の成果は査読付きの国際会議のProceedingsに掲載された。
昨年度得られた成果については、田村と室田がそれぞれ米国とドイツで開催された国際会議において発表した。特に米国で開催されたConference on Integer Programming and Combinatorial Optimizationでの講演はSpringerのLNCSシリーズにProceedingsとして出版された。また、研究発表のリストにあるように昨年度得られた結果の幾つかが掲載または掲載予定となった。

研究成果

• [文献書誌] T.Fujie, A.Tamura: "On Grotschel-Lovasz-Schrijver's Relaxation of Stable Set Polytopes"Journal of the Operations Research Society of Japan. 45. 285-292 (2002)
• [文献書誌] A.Tamura: "Coordinatewise Domain Scaling Algorithm for M-Convex Function Minimization"in: Cook, W. J. and Schulz, A. S. (eds.) Integer Programming and Combinatorial Optimization, Lecture Notes in Computer Science, Springer. 2337. 21-35 (2002)
• [文献書誌] S.Moriguchi, K.Murota, A.Shioura: "Scaling Algorithms for M-convex Function Minimization"IEICE Transaction on Fundamentals. E85-A. 922-929 (2002)
• [文献書誌] R.Ito, T.Fujie, K.Suyama, R.Hirabayashi: "New Design Methods of FIR Filters with Signed Power of Two Coefficients using a New Linear Programming Relaxation with Triangle Inequalties"Proceedins of 2002 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. I. 813-816 (2002)
• [文献書誌] A.Tamura: "On Convolution of L-Convex Functions"Optimization Methods and Software. (掲載予定).
• [文献書誌] K.Murota, A.Tamura: "New Characterizations of M-Convex Functions and Their Applications to Economic Equilibrium Models"Discrete Applied Mathematics. (掲載予定).
• [文献書誌] S.Moriguchi, K.Murota: "Capacity Scaling Algorithm for Scalable M-convex Submodular Flow Problems"Optimization Methods and Software. (掲載予定).
• [文献書誌] K.Nakata, K.Fujisawa, M.Fukuda, M.Kojima, K.Murota: "Exploiting Sparsity in Semidefinite Programming via Matrix Completion, II : Implementation and Numerical Results"Mathematical Programming. (掲載予定).
• [文献書誌] T.Fujie: "An Exact Algorithm for the Maximum Leaf Spanning Tree Problem"Computers & Operations Research. (掲載予定).
• [文献書誌] 久保幹雄, 田村明久, 松井知己(編集): "応用数理計画ハンドブック"朝倉書店. 1354 (2002)
• [文献書誌] 田村明久, 村松正和: "最適化法"共立出版. 233 (2002)