自由境界問題に対する領域分割法とその応用

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640119
• 研究機関: 徳島大学
• 研究代表者: 竹内 敏己 徳島大学, 工学部, 助教授 (30264964)
• 研究分担者: 今井 仁司 徳島大学, 工学部, 教授 (80203298) ; 中村 正彰 日本大学, 理工学部, 助教授 (00017419) ; 池田 勉 龍谷大学, 理工学部, 教授 (50151296) ; 坂口 秀雄 徳島大学, 工学部, 助手 (80274265)
• キーワード: 自由境界問題 / 数値計算 / スペクトル選点法 / 領域分割 / 高精度

研究概要

自由境界問題に対してスペクトル選点法を用いた数値計算手法の研究、およびスペクトル選点法と領域分割法を組み合わせた数値計算手法の研究を行った。まず、自由境界問題に対しては固定領域法を用いて変数変換を行い、固定領域問題に変換した上でスペクトル選点法を用いる方法を実問題へ適用した。実問題としては、数理ファイナンスにおけるオプションの価格評価に現れる自由境界問題を取り上げた。本来の問題設定では未知量の1階偏導関数が不連続な境界条件であり、そのままでは数値計算が出来なかったが、境界条件を滑らかにするための補正を行い、数値計算を実行することができた。
次に、スペクトル選点法と領域分割法を組み合わせた数値計算手法を開発するために、厳密解のわかっている2階常微分方程式を設定し、領域分割法を用いた数値計算手法の研究を行った。領域分割法では各領域の境界条件が問題となるが、これに対しては領域と領域の結合部で未知量の値と1階微分係数の値が一致するような境界条件を適用したところ、十分滑らかな数値解が得られた。なお、数値計算で使用したプログラムはFORTRANで作成し、数値計算は4倍精度実数を用いて実行した。数値計算結果と厳密解を比較した結果、十分な正確さで数値計算が実行できていることが検証できた。さらに、領域を分割せずにスペクトル選点法を用いた場合と比べたところ、解の変動が激しい部分に選点が多く集まるように領域分割をして数値計算を行うと、同じ選点数を使った場合、領域分割法を使用した方が高精度の数値計算ができているという結果が得られた。

研究成果

• [文献書誌] 池田勉, 長山雅晴: "燃焼合成反応におけるヘリカル波"応用数理. Vol.11 No.2. 40-48 (2001)
• [文献書誌] N.Tamura, M.Ohyanagi, M.Nagayama, T.Ikeda, T.Ishiwata: "Three-dimensional numerical simulation of helically propagating combustion waves"J. of Material Synthesis and Processing. Vol.9 No.3. 153-163 (2001)
• [文献書誌] T.Nishida, T.Ikeda, H.Yoshihara: "Pattern formation of heat convection problems, Mathematical Modeling and Numerical Simulation in Continuum Mechanics"Lecture Notes in Computational Sciences and Engineering. Vol.19. 209-218 (2002)
• [文献書誌] H.Imai, T.Takeuchi, S.S.Shanta, N.Ishimura, T.Aiki: "Numerical Computation of Lyapunov Exponents Related to Attractors in a Free Boundary Problem"Nonlinear Analysis. Vol.47. 3823-3833 (2001)
• [文献書誌] 石村直之, 今井仁司, 竹内敏己: "自由境界問題の数値解法 -数理ファィナンスヘの応用-"一橋論業. Vol.126 No.4. 419-428 (2001)
• [文献書誌] T.Hanada, N.Ishimura, M.Nakamura: "Numerical analysis of Eguchi-Oki-Matsumura equations II"Science Press. (in press). (2002)