変動する領域における拡散過程の研究

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640122
• 研究機関: 熊本大学
• 研究代表者: 大島 洋一 熊本大学, 工学部, 教授 (20040404)
• 研究分担者: 竹田 雅好 東北大学, 理学研究科, 教授 (30179650) ; 櫃田 倍之 熊本大学, 理学部, 教授 (50024237) ; 内藤 幸一郎 熊本大学, 工学部, 教授 (10164104) ; 金 大弘 熊本大学, 工学部, 講師 (50336202)
• キーワード: ディリクレ形式 / 反射壁拡散過程 / 局所時間 / Skorohod表現

研究概要

平成13年度における本研究の目標は、変動する領域における時間的に一様でない拡散過程の構成およびその性質を研究することにあった。この拡散過程の構成に当たり、従来の時間に依存するディリクレ形式の理論は、領域および基礎の測度が時間に依存するため、そのままでは使えない。そのため、領域および測度を、適当な写像により時間に依存しない場合に帰着し、そこにおけるディリクレ形式の理論を用いて拡散過程を構成しそれを逆写像により戻して求める拡散過程を構成する方針で研究した。そのために必要な確率解析を確立する必要があった。それは、写像による拡散過程の変換を行う際、面積要素が時間に関係するため、対応する拡散過程も時間に依存した変換を行う必要がある。それは、時間に依存した丸山ーギルサノフ型の変換となる。従って、その種の変換に対応する確率解析が必要となった。これらの変換は、速度と加法的汎関数の関係にも関係する。これらの間の関係を求めて、ある種の時間に依存して変動する領域における拡散過程を構成した。それらは、反射壁おあるいは吸収壁の境界条件の場合を含む。特に反射壁の場合、時間に依存して変動する境界における局所時間の存在(それはどのような物であるのが自然であるかは今後の課題であるが)を示し、それを用いてSkorohod型の表現の可能性を示した。次の課題として本年度求めた結果の応用を考えるのが次年度につなげる課題である。その応用は種々考えられるが、その一つとしてゲーム理論あるいは制御理論への応用が新しい問題として浮上してきた。これらについては次年度の課題と考える。

研究成果

• [文献書誌] Y.Oshima: "On the exceptionality of some semipolar sets of time in homogeneous Markov processes"Tohoku Math. J.. (to appear).
• [文献書誌] K.Naito: "Recurrent Dimensions of Quasi-Periodic Orbits with Irrational Frequencies given by Weak Liouville Numbers"Proc. of International Conference on Mathematical Analysis and Applications. (to appear).
• [文献書誌] K.Naito: "Recurrent Dimensions of Quasi-Periodic Solutions for nonlinear evolution equations"Trans. Amer. Math. Soc.. 354・3. 1137-1151 (2002)
• [文献書誌] K.Naito: "Recurrent Dimensions of Quasi-Periodic Orbits with Irrational Frequencies given by Quasi Liouville Numbers"Nonlinear Analysis. 47. 3671-3682 (2001)
• [文献書誌] K.Naito: "Recurrent dimensions of quasi-periodic orbits with frequencies given by weak Liouville numbers"数理解析研究所講究録. 1187. 131-142 (2001)
• [文献書誌] Y.Hibino, M.Hitsuda, H.Muraoka: "Remarks on a noncanonical representation for a stationary Gaussian process"Acta Applicandae Mathematicae. 63. 137-139 (2001)
• [文献書誌] Y.Hibino, M.Hitsuda: "Canonical property of representations of Gaussian processes with singular Volterra kernels"Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. (to appear).
• [文献書誌] M.Takeda: "Conditional Gaugeability and Subcriticality of Genelalized Schrodinger Operators"J. Funct. Anal.. (to appear).
• [文献書誌] D.H.Kim, M.Takeda, J.Ying: "Some variational formulas on additive functionals of symmetric Markov chains"Proc. Amer. Math. Soc.. (to appear).
• [文献書誌] D.H.Kim: "Asymptotics of the spectral gaps related to energy forms on non-smooth domain"Potential Analysis. (to appear).