変動する領域における拡散過程の研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640122
• 研究機関: 熊本大学
• 研究代表者: 大島 洋一 熊本大学, 工学部, 教授 (20040404)
• 研究分担者: 金 大弘 熊本大学, 工学部, 講師 (50336202) ; 櫃田 倍之 熊本大学, 理学部, 教授 (50024237) ; 内藤 幸一郎 熊本大学, 工学部, 教授 (10164104) ; 竹田 雅好 東北大学, 理学研究科, 教授 (30179650)
• キーワード: 時間依存ディリクレ形式 / 反射壁拡散過程 / 局所時間 / 最適停止

研究概要

本年度の研究の主目的は、変動する領域における拡散過程を構成した後で、その拡散過程が吸収壁または反射壁境界条件境界条件を満たす場合にその特徴付けを与える事と、その応用について検討する事にあった。領域が変動する(当然領域も変動する)場合は、生成作用素も時間的に変動するため、一般的な取り扱いは困難である。本研究においては、領域が、決まった領域の滑らかな関数による像として表される場合に、反射壁拡散過程も構成およびその特徴付けを与えた。その特徴付けにおいては、境界における局所時間が重要な役割を果たす。しかし、境界が時間とともに変動するため、局所時間の特徴付けおよびその存在などは明らかではない。これに関しては、境界が時間的に変動しない場合には、時間に依存するディリクレ形式の一般論が使え、局所時間および反射壁輩拡散過程の特徴付けが出来た。この応用として、当初反射壁あるは吸収壁拡散過程の再帰性あるいは保存性と領域の変動の速さとの関係の研究を1つの目的としていた。しかし、研究の過程において、当研究は最適停止問題の、時間的に変動する場合と密接に関連があることが明らかになった。時間に依存しない場合は、超過的関数は擬連続関数となるため、最適停止問題は、対応する変分不等式の解により特徴づけられる、ある領域への訪問時間として与えられる。これに対して、時間に依存する場合は、超過的関数が擬連続でないため、ある集合への訪問時間でジャンプする可能性がある。これに関して本年度の研究で部分的な結果を得て、それはさらに発展する可能性を見いだした。

研究成果

• [文献書誌] Y.Oshima: "On the exceptionality of some semipolar sets of time inhomogeneous Markov processes"Tohoku Math. J.. 54. 443-449 (2002)
• [文献書誌] Y.Oshima: "On a Construction of Diffusion Processes on Moving Domains"Potential Analysis. (To appear).
• [文献書誌] D.Kim: "Some variational formulas on additive functionals of symmetric Markov chains"Proc. Amer. Math. Soc.. 130. 2115-2123 (2002)
• [文献書誌] M.Takeda: "Conditional gaugeability and subcriticality of generalized Schroedinger operators"J. Funct. Anal.. 191. 343-376 (2002)
• [文献書誌] Y.Hibino: "Canonical property of representations of Gaussian processes with singular Volterra kernels"Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 5. 293-296 (2002)
• [文献書誌] K.Naito: "Recurrent Dimensions of Quasi-Periodic Solutions for Nonlinear Evolution Equations II"Discrete and Continuous Dynamical Systems. (To appear).
• [文献書誌] K.Naito: "Recurrent dimensions of 3-frequencies quasi-periodic solutions for nonlinear evolution equations"Proc. Of the 1^<st> Korea-Japan Joint-seminar on Nonlinear Functional Analysis and Convex Analysis 2002. (To appear).
• [文献書誌] K.Naito: "Recurrent Dimensions of Quasi-Periodic Orbits with Frequencies given by Weak Liouville Numbers"International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. (To appear).