| 研究課題/領域番号 |
13640122
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
数学一般(含確率論・統計数学)
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| 研究機関 | 熊本大学 |
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研究代表者 |
大島 洋一 熊本大学, 工学部, 教授 (20040404)
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| 研究分担者 |
金 大弘 熊本大学, 工学部, 講師 (50336202)
櫃田 倍之 熊本大学, 理学部, 教授 (50024237)
内藤 幸一郎 熊本大学, 工学部, 教授 (10164104)
竹田 雅好 東北大学, 理学研究科, 教授 (30179650)
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| 研究期間 (年度) |
2001 – 2002
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| キーワード | 時空拡散過程 / ディリクレ形式 / 反射壁過程 / 局所時間 / Skorohod表現 / 最適停止問題 |
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| 研究概要 |
本研究の主自的は、時間と共に変動する領域における拡散過程の構成およびその性質を調べることにあった。その際、領域の形状のみならず、生成作用素も変動を許すとする。もっとも典型的な過程は、境界で吸収あるいは反射する拡散過程である。その際、境界の形状が各時点で変わるため、困難が生じる。本研究においては、時間に依存するディリクレ形式の理論を整備し、変動する領域上の拡散過程を構成しその性質を求める方法を用いた。基本的な設定は以下の通りである。領域の変動は、決まった領域の、時間に依存する関数による写像となっている場合を考えた。また、微分生成作用素自身も時間変動を許すと考える。構成の方針は、まず動かない領域における拡散過程を構成する。その構成には、時間に依存するディリクレ形式の一般論が適用できる。その後、その過程を領域間の写像により写すことにより、目的の過程が得られると考えられる。その際、時間的に変動する面積要素を通した変換を受けるため、射影した過程が目的のものであることを調べるため、時間に依存するギルサノフ型の変換公式を含む確率解析が必要となる。このような確率解析については、細切れに散見されるが、系統的には明らかではなかった。本研究の拠り所となるこの様な確率解析については、詳細に整理した結果を発表の予定である。重要な場合として反射壁拡散過程を考える。この場合、境界の形状が時間と共に変動するため、その境界における局所時間あるいは境界における法線方向がどのようなものであるかも明らかではない。本研究においては、領域間の写像を用いることにより、これらを定義し、その境界における局所時間を構成した。さらに、その局所時間を用いてSkorohod型表現定理を求めることが出来た。求められた拡散過程には種々の応用が考えられる。その1つとして、時間的に変動する拡散過程の最適停止問題および関連する確率制御問題がある。時間的に一様でない設定では、半極集合の存在のため、最適停止時間の特徴付けは困難である。これについて、その特徴付けを与える事が出来る。さらにこれを発展させることが出来ると考えている。
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