点集合によって誘導される凸体の離散幾何学的考察

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640137
• 研究機関: 東海大学
• 研究代表者: 占部 正承 東海大学, 海洋学部, 助教授 (30256177)
• 研究分担者: 細野 潔 東海大学, 理学部, 助教授 (40238754) ; 藤井 信彦 東海大学, 理学部, 教授 (60228955)
• キーワード: 数学 / 応用数学 / 組合せ論 / 組合せ幾何学 / 離散幾何学 / 計算幾何学 / 点集合 / Erdos-Szekeres

研究概要

離散幾何学の中でも特に、点集合の分割と点集合によって誘導される凸体の存在性について研究を進め、現在主に以下の4つの問題群に取り組んでいる。
第一の問題は、点集合の凸多角形への分割である。これは1996年に専門誌Discrete Applied Mathematicsに掲載され、その後国内外の研究者と討論を交わした。そして本年度、この評価式を改良した論文が国際誌に発表された。次に、"決められた個数の点を内包する凸多角形の存在性"に関する問題を導入した。この問題に関して、幾つかの自然数に対する問題は解決しているが、すべての自然数に対する解の存在性は未解決である。この問題に関する論文が、2001年秋国際誌Discrete MathematicsのSpecial Issueに発表された。過去には、特別な場合を考察した論文を1998年12月に国際会議で発表、2000年1月Discrete and Computational Geometry:Lecture Notes in Computer Scienceに掲載している。そして本年度、ハンガリーの研究者と共同研究を行い、国際会議にて講演、現在その論文を国際誌に投稿中である。第3番目に"与えられた点集合に存在する凸k角形の最大個数に関する問題"がある。この問題は第1の問題と関連して、与えられた点集合に凸k角形がいくつ存在するかを評価したものであるが、この問題を解決するために導入された新しい手法は、様々な関連する問題群の解決に役立っている。そしてこの結果が2001年秋、国際誌:Discrete and Computational Geometryに発表された。また近年、与えられた点集合から生成される単純多角形の研究も進めている。この問題は、点集合から生成される凸体の連結性に関する研究で、これも全く新しい問題である。特に、単純多角形内に存在する凸体に関する研究では、非常に面白い結果が得られたので、2000年11月に国際会議にて講演、2001年春に国際誌Discrete and Computational Geometry:Lecture Notes in Computer Scienceに発表されている。

研究成果

• [文献書誌] David Avis, Kiyoshi Hosono, Masatsugu Urabe: "On the existence of a point subset with a specified number of interior points"Discrete Mathematics. 241. 33-40 (2001)
• [文献書誌] Kiyoshi Hosono, Masatsugu Urabe: "On the number of disjoint convex quadrilaterals for a planar point set"Computational Geometry:Theory and Applications. 20. 97-104 (2001)
• [文献書誌] K.Hosono, D.Rappaport, M.Urabe: "On convex decompositions of points"Lecture Notes in Computer Science Discrete and Computational Geometry. 2098. 149-155 (2001)
• [文献書誌] Kiyoshi Hosono: "On an estimate of the size of the maximum matching for a family of disjoint compact convex sets in the plane"Discrete applied Mathematics. 113. 291-298 (2001)
• [文献書誌] Kiyoshi Hosono, Henk Meijer, David Rappaport: "On the visibility graph of convex translates"Discrete applied Mathematics. 113. 195-210 (2001)