| 研究概要 |
本研究においては,ウェーブレット型の関数列であるFrazier-Jawerthのφ-変換を用いた重み付き関数空間の特徴付け,及びその偏微分方程式への応用を研究した。特にSobolev-Lieb-Thirringの不等式の一般化を証明した。この結果は,従来の不等式に重みを付けた形のものであり,Ghidaglia-Marion-Temamの定理あるいはEdmunds-Ilyinの定理の一般化である。従来知られている不等式は主にL^2の正規直交系に関するものであるが,本研究における結果は,正規直交性を一般化したsuborthonormalな関数系に関する結果である。
証明は前年度のLieb-Thirring不等式の一般化の結果と同様であり,調和解析の現代的な手法を用いるものであるが,必ずしも作用素と関連付けないために異なる計算法が必要となる。高次元の場合には,負のポテンシャルを持つSchrodinger作用素の負の固有値の個数の評価に関するCwikel-Lieb-Rozenbljumの不等式の一般化と類似の計算が用いられる。また低次元の場合には、高次元の場合とは異なる手法を用いて,負のポテンシャルを持つSchrodinger作用素の負の固有値のモーメント和に関する、Lieb-Thirringの定理の一般化と類似の不等式を証明することにより、結果を示した。この場合,ある条件を満たすdyadic cubes上における積分の評価と、作用素の固有値に相当する量との関連が重要となる。本研究における結果は退化楕円型の主要部をもつ,非線型方程式のアトラクターのHausdorff次元を評価する問題への応用が期待される。
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