非有界領域での楕円型偏微分方程式の解の積分表示の研究とその確率解析的考察

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640153
• 研究機関: 千葉大学
• 研究代表者: 宮本 育子 千葉大学, 理学部, 助教授 (00009606)
• 研究分担者: 奥山 安男 信州大学, 工学部, 教授 (70020980) ; 種村 秀紀 千葉大学, 理学部, 助教授 (40217162) ; 吉田 英信 千葉大学, 自然科学, 教授 (60009280)
• キーワード: ディリクレ問題 / 非有界領域 / コーン / シリンダー / ストリップ / minimally thin sets / rarefied sets / 除外集合

研究概要

非有界領域の楕円型偏微分方程式の境界値問のひとつであるディリクレ問題について、コーン、シリンダーに関しては、既に結果を得ている。別の非有界領域ストリップR^n×D(DはR^mの有界領域)上についても、特殊解の積分表示は既に得ているので一般解の具体的構成とある種の一意性の問題解決に取り組んでいる。多くの研究者との交流で、今後の展開の方向がみえてきた。
また、minimally thin setsはDoob等によってくわしく研究されたポテンシャル論的除外集合、rarefied setsはAhlfors, Hayman等によって関数の増大度に関する関数論的視点から研究されてきた除外集合である。なめらかな領域での関数の境界近くでの振舞いの研究から出発して、Lipschitz領域やさらに一般な複雑な境界をもつ領域での関数の境界近くでの振舞いが研究されていくのが通例である。なめらかな領域の境界点である半空間での無限遠点近くでの上記二種類の除外集合に関して、そのウィナー型の判定条件とその除外集合外での正値優調和関数の振舞いについてのEssen等の研究がある。これに関してこの結果を、角をもつ領域の角にあたる、コーンの無限遠点近くでの結果に拡張し、別の意味の領域の角にあたる、無限に延びるシリンダーの無限遠点近くでの同種の結果に拡張した。また、除外集合のある種の表現に関して、コーン、シリンダーの場合の結果を得ることができた。この結果のひとつは、カナダの雑誌(Canadian Mathematical Bulletin)に掲載されることが決まっている。

研究成果

• [文献書誌] I. Miyamoto, M. Yanagisita, H. Yoshida: "Beuring-Dahrberg-Sjogren type theorems for minimally thin sets a cone"Canadian Mathmatical Bulletin. (to appear).
• [文献書誌] I. Miyamoto, H. Yoshida: "Two criterions of Wiener type for minimally thin sets and rarefied sets in a cone"J. Japan Math. Soc.. (to appear).
• [文献書誌] I. Miyamoto, M. Yanagisita, H. Yoshida: "Beuring-Dahrberg-Sjogren type theorems for minimally thin sets a cone"ポテンシャル論研究集会講演集. 60-71 (2001)
• [文献書誌] H. Yoshida: "Harmonic majorant of a radial subharmonic function on a strip and their applications"ポテンシャル論研究集会講演集. 135-158 (2001)
• [文献書誌] H. Tanemura: "Critical intensities of Boolean models with different underlying convex shapes"J. Appl. Probab.. (to appear).
• [文献書誌] H. Tanemura: "Limit theorems for non-attractive Domany-Kinzel model"Ann. Probab.. (to appear).
• [文献書誌] H. Yoshida, T. Sato: "初歩から学べる複素解析"培風館. 183 (2001)