双対半群とLorentz空間を用いるNavier-Stokes外部問題の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640157
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 山崎 昌男 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20174659)
• 研究分担者: 藤田 岳彦 一橋大学, 大学院・商学研究科, 教授 (50144316) ; 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20188288) ; 柴田 良弘 早稲田大学, 理工学部, 教授 (50114088) ; 石村 直之 一橋大学, 大学院・経済学研究科, 助教授 (80212934)
• キーワード: Navier-Stokes方程式 / 外部領域 / 定常解 / 周期解 / 安定性 / 境界値問題 / Lorentz空間 / 実補間

研究概要

柴田良弘教授との共同研究によって、n次元空間の外部領域におけるNavier-Stokes方程式のphysically reasonable solutionの自然な拡張となる定常解が一意的に存在するための、時間に依存しない外力に関する十分条件で、流体の無限遠方での速度が0である場合と0と異なる場合とを統一的に扱えるものを、Lorentz空間の双対性および実補間の理論を用いて、3以上のすべての整数nに対して与えた。
また、柴田教授および榎本裕子助手との共同研究によって、上で得た定常解は、弱Ln-空間に属する初期摂動を加えたとき、時間発展について弱Ln-空間において安定であることを示し、さらにこの摂動の大きさは、流体の無限遠方での速度について一様であることを示した。
さらに、定常解についてのこれらの結果を、外力が時間に依存する場合に拡張し、対応する時間周期解、あるいは概周期解の一意存在のための外力に関する十分条件を、劣線型作用素に対する実補間を用いて得た。またこれらの解の初期摂動および外力の摂動に関する、流体の無限遠方での速度について一様な、弱Ln-空間における安定性を示した。
一方、外部領域に関するこれらの結果をより一般の非有界領域に拡張するための準備として、阿部孝之大学院生との共同研究によって、平行平板間におけるStokes方程式の境界値問題についてのLp-理論を、高階のSobolev空間およびBesov空間に拡張し、これらの空間に属するStokes方程式の解が一意的に存在するための、外力に関する十分条件を行た。特にpが無限大の場合には解の一意性が成立せず、外力及び境界値が0に対する解としてPoiseuille流が特徴づけられることを示した。

研究成果

• [文献書誌] Yoshihiro Shibata, Senjo Shimizu: "On a resolvent estimate for the Stokes system with Neuman boundary condition"Differential and Integral Equations. 16-4. 385-426 (2003)
• [文献書誌] Yoshihiro Shibata, Senjo Shimizu: "On a resolvent estimate of the interface problem for the Stokes system in a bounded domain"Journal of Differential Equations. 191-2. 408-444 (2003)
• [文献書誌] Paolo Secchi, Yoshihiro Shibata: "ON the decay of solutions to the 2D Neumann exterior problem for the wave equation"Journal of Differential Equations. 194-1. 221-236 (2003)
• [文献書誌] Takayuki Abe, Yoshihiro Shibata: "On a resolvent estimate of the Stokes equation on an infinite layer"Journal of the Mathematical Society of Japan. 55-2. 469-497 (2003)
• [文献書誌] Takayuki Abe, Yoshihiro Shibata: "On a resolvent estimate for the Stokes equation on an infinity layer : Part 2 λ=0 case"Journal of the Mathematical Fluid Mechanics. 5-3. 247-274 (2003)
• [文献書誌] Yoshihiro Shibata, Koumei Tanaka: "On the steady flow of compressible viscous fluid and its stability with respect to initial disturbance"Journal of the Mathematical Society of Japan. 55-3. 797-826 (2003)