| 研究概要 |
制約条件u(t)∈Kのついた発展方程式u'(t)+Au(t)∋f(t, u(t)),0【less than or equal】t【less than or equal】Tに対して、初期値問題およびT-周期解の存在についての結果を得た。ここで、(H,<・,・>)はヒルベルト空間で、A⊂H×Hは極大単調作用素、KはHの閉凸集合、f:[0, T]×K→Hはカラテオドリ作用素である。K=<D(A)>^^^-_(無条件と言い替えても良い)の場合は、これまでに非常に多くの結果がある。K≠<D(A)>^^^-の場合は、AがC_o半群を生成する線形作用素のときはAmannの結果が代表的であり、Aが一般のm-増大作用素の場合はBotheの結果がある。ただし、Botheの結果は、Aが非線形という意味ではAmannの結果を一般化しているが、非線形項fに対する仮定が強く、u→g(t, x, u, ∇μ)のように∇uが入ってくるものを扱えない。我々は、非線形項がこのような場合でもこの問題の解の存在について結果を得た。その際の鍵となった仮定を説明する。(V,‖・‖)は回帰的バナッハ空間で、Hにちゅう密かつコンパクトに埋め込まれているとし<Ax-Ay, x-y>【greater than or equal】‖x-y‖^pをAは満たしているとする。ただし、P>1である。また、HからKへの距離射影Pが、P(V)⊂Vを満たし、P:(V,‖・‖)→(V,‖・‖)は連続であるとし、‖Px‖【less than or equal】c_1‖x‖+c_2を満たすc_1, c_2【greater than or equal】0が存在することを仮定した。具体例としては、Ω(⊂R^N)が有界領域で、V=H^1_0(Ω)かつH=L^2(Ω)の場合、K={u∈L^2(Ω):u【greater than or equal】0}と置くと、距離射影PはPu=max{u, O}となるが、このPは上の仮定を満たすのである。さらに、f:[0, T]×(K∩V)→Hはカラテオドリ写像で、適当な増大条件を満たし、A-fはコアシブ条件を満たし、次のようなsubtangential条件を満たすとする。すべてのλ>Oに対してJ_λK⊂Kが成り立ち、すべての(t, u)∈[0, T]×(K∩V)に対してf(t, u)∈T_Kuが成り立つとする。ただし、T_Ku={v∈H:<lim>___-_<s→+o>d_H(u+sv, K)/s=0}である。応用として、Dirichlet条件下で、∂u/∂t-Σ^N_<j=1>∂a_j/∂x_j(x, u, ∇u)=g(t, x, u, ∇u)が、非負な値をとる周期解u(t, x)を持つことを示した。
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