| 研究概要 |
平成13年度の研究計画は、以下の通りであった。(1)位相空間上の経路積分の発展的研究(一ノ瀬)。(2)経路積分で与えられる母関数の汎関数微分の研究(一ノ瀬)。(3)振動型積分作用素の有界性定理の研究(森本)。(4)摂動理論の関数解析的研究(谷内)。研究実施は概ね成功したが,幾つか未完成の部分もあっ。以下に具体的に示す。
一ノ瀬は,通常物理学で用いられている位相空間経路積分の収束の研究を行い,電磁場ポテンシャルを持つ一般的な形でその収束を示した(Osaka J. Math. 2002)。次に,一般化された位相空間経路積分の研究を行い, correlation functions(相関関数), the canonical commutation relation(正準交換関係)等の経路積分表示を与えることに成功した(数理研講究録2001, J. Math. Soc. Japanに現在投稿中)。次に上記の結果を拡張し,より一般化された位相空間経路積分の研究を行った。具体的には,汎関数観測量【product】^k_<j=1> z_j(q(t_j),【product】(t_j))(【product】は力学的運動量)の期待値と呼ばれる位相空間経路積分が収束するための,関数【product】^k_<j=1> z_j(q,【product】)についての必要条件及び十分条件を導き,又この結果の量子観測理論への応用を行った(現在投稿準備中)。これらの結果は,ISAAC Berlin,京大数理研,阪大,愛媛大,東海大で発表した。(2)については,上記に記したように(1)についての研究が予想外に進んだため時間がなく残念ながら着手できなかった。
森本は(3)について,Wick calculusにおける漸近展開公式を導きだすことに成功し,これをSchrodinger型方程式の研究に応用した(Osaka J. Math. 2002)。次に,上記漸近展開公式を用いて,Fefferman-Phong不等式の証明の簡略化に成功した(現在投稿準備中)。谷内はBoussineq方程式の研究を行い,(4)に関連してthe Yudovich space, the local Morrey spaceの有効性を示した(Lec. Note in Pure and Appl. Math. 2001)。
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