| 研究課題/領域番号 |
13640167
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
基礎解析学
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
竹井 義次 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (00212019)
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| 研究分担者 |
小池 達也 京都大学, 大学院・理学研究科, 助手 (80324599)
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| 研究期間 (年度) |
2001 – 2003
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| キーワード | 完全WKB解析 / 高階Painleve方程式 / Lax pair / 変わり点 / (new) Stokes curve / 完全最急降下法 / 遷移確率 / WKB型擬微分方程式 |
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| 研究概要 |
本研究では、河合隆裕(京大数理研)氏や大学院生の西川亨宏君の協力を仰ぎながら、可積分系から得られる高階Painleve方程式への完全WKB解析の一般化に主として取り組んだ。まず、多変数の退化Garnier系の制限として得られるI型の系列や、KdVヒエラルキーの簡約により得られるII型系列、及びIV型・V型の系列である野海・山田方程式系等の高階Painleve方程式に対して、これら非線型方程式の変わり点やStokes曲線(いわゆる"Stokes幾何")が、それに付随したLax pairと呼ばれる線型方程式系のStokes幾何と密接に関連していることが見出された。次に、高階Painleve方程式に対してもStokes曲線の交叉が起こりそこからnew Stokes curveが延びること、特にこうしたnew Stokes curveが仮想的変わり点を始点とするStokes曲線と理解でき、通常の変わり点と同様に仮想的変わり点もまたLax pairのStokes幾何により特徴づけられるという知見が得られた。さらに、高階Painleve方程式に対する完全WKB解析のより解析的な側面に関しても、I型及びII型の系列について、その第1種の単純変わり点における零パラメータ解(即ち、自由パラメータを含まない代数的に定まる形式解)の変換論を示すことに成功した。今後は、Lax pairの両立条件として現れるような一般の非線型方程式に対して、これらの結果がどの程度普遍的に成立するかを検証することが問題となるであろう。
なお、上記の研究に関連して、高階線型方程式のnew Stokes curveを決定するための完全最急降下法の理論整備や、線型の連立方程式系に対する完全WKB解析の基礎理論の確立とその遷移確率の計算への応用、及び高階線型方程式をより一般にしたWKB型の線型擬微分方程式に対する完全WKB解析といったテーマについても、上記の研究と並行する形で研究を行った。
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