バナッハ空間におけるノルム不等式の研究とその応用

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640188
• 研究機関: 岡山県立大学
• 研究代表者: 高橋 泰嗣 岡山県立大学, 情報工学部, 教授 (30001853)
• 研究分担者: 佐藤 亮太郎 岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (50077913) ; 川畑 洋昭 岡山県立大学, 情報工学部, 教授 (70081271) ; 高橋 浩光 岡山県立大学, 情報工学部, 教授 (30109889) ; 加藤 幹雄 九州工業大学, 工学部, 教授 (50090551) ; 高橋 眞映 山形大学, 工学部, 教授 (50007762)
• キーワード: クラークソン型不等式 / ラフカ型不等式 / ノルム不等式 / 一様凸空間 / タイプ・コタイプ / シェーファー型定数 / 絶対ノルム / バナッハ空間の幾何学

研究概要

研究課題「バナッハ空間におけるノルム不等式の研究とその応用」について、研究代表者は、研究分担者及び国内・国外の研究者の協力のもとに、数々の成果を得た。これらの成果は、日本数学会、京都大学数理解析研究所研究集会、実解析シンポジウム、実解析学シンポジウム、関数空間セミナー、等の各種シンポジウム、及び、北海道大学数学講究録、数理解析研究所講究録、種々の国際雑誌等で発表した(発表予定を含む)。以下に、その概要を示す。
1.L_p山空間の一様凸性を導くClarkson不等式を、一般のバナッハ空間Xで定式化し、q-unifbm convexity, p-unifrom smoothnessなどの幾何学的性質を特徴づけた。また、これらの性質のLebesgue-Bochner空間L_p(X)への遺伝性なども考察した。更に、これらの不等式の様々な拡張(要素数、重みつき等)を考察し、空間の確率的性質も特徴づけた。
2.バナッハ空間のnon-squarenessの度合いを表すSchaeffer定数について、その一般化であるSchaeffer型定数を導入し、それらの定数と空間の幾何学的性質(一様凸性、正規構造)との関係、及び、他の幾何学的定数(von Neumann-Jordan, James等)との関係を考察した。また、具体的な関数空間のSchaeffer型定数を詳細に調べた。
3.ヒルベルト空間においてHlawka不等式の一般化(要素数、パラメータ等)を考察し、その不等式に現れる最良定数を決定した。また、これらの不等式を一般のバナッハ空間で定式化し、空間のコタイプとの関係を調査した。
4.バナッハ空間の直和にabsolute normを導入し、その空間が狭義凸、一様凸、uniformly non-squareとなるための必要条件を対応する凸関数との関係で与えた。
その他、線形位相空間上の閉凸集合と不等式の族との自然な対応の考察から、新しいタイプの巾平均型不等式を与えた。また、エルゴード定理の拡張なども考察した。

研究成果

• [文献書誌] 高橋泰嗣: "On tensor matrices and norm inequalities"京都大学数理解析研究所講究録. 1253. 164-171 (2002)
• [文献書誌] Yasuji Takahashi: "Some convexity constants related to Hlawka type inequalities in Banach spaces"J. Inequal. Appl.. 7. 125-141 (2002)
• [文献書誌] Yasuji Takahashi: "Strict convexity of absolute norms on C2 and direct sums of Banach spaces"J. Inequal. Appl.. 7. 179-186 (2002)
• [文献書誌] Sin-Ei Takahasi: "A note on a class of Banach algebra-valued polynomials"J. Math. And Math. Sci.. 32. 189-192 (2002)
• [文献書誌] Yasuji Takahashi: "On sharp uniform convexity, smoothness, and strong type, cotype inequalities"J. Nonlinear and Convex Anal.. 3. 267-281 (2002)
• [文献書誌] 加藤幹雄: "On optimal 2-uniform convexity inequalities"京都大学数理解析研究所講究録. 1298. 65-69 (2002)
• [文献書誌] 田村高幸: "On direct sum Banach spaces and uniform non-squareness"京都大学数理解析研究所講究録. 1298. 70-75 (2002)
• [文献書誌] Ryotaro Sato: "A remark on real coboundary cocycles in L^∞-space"Proc. Amer. Math. Soc.. 131. 231-233 (2003)
• [文献書誌] Kichi-Suke Saito: "Uniform convexity of ψ-direct sums of Banach spaces"J. Math. Anal. Appl.. 277. 1-11 (2003)
• [文献書誌] 高橋泰嗣: "On some convex functions related with norms of Banach spaces"北海道大学数学講究録. 73. 24-28 (2003)
• [文献書誌] 高橋眞映: "On the Hyers-Ulam stability constant of a first order linear differential operator"北海道大学数学講究録. 73. 51-54 (2003)
• [文献書誌] Sin-Ei Takahasi: "On the structure of the solution set of a third kind boundary value problem"Math. Nachr. (To appear).
• [文献書誌] Mikio Kato: "On ψ-direct sums of Banach spaces and convexity"J. Austral. Math. Soc. (To appear).
• [文献書誌] Sin-Ei Takahasi: "Convex sets and inequalities"Archives Inequal. Appl. (To appear).