汎関数解析とFeynman経路積分の数学理論

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640189
• 研究機関: 学習院大学
• 研究代表者: 藤原 大輔 学習院大学, 理学部, 教授 (10011561)
• 研究分担者: 片瀬 潔 学習院大学, 理学部, 教授 (70080489) ; 水谷 明 学習院大学, 理学部, 教授 (80011716) ; 黒田 成敏 学習院大学, 理学部, 教授 (20011463) ; 竹内 慎吾 学習院大学, 理学部, 助手 (00333021) ; 渡辺 一雄 学習院大学, 理学部, 助手 (90260851)
• キーワード: Feynman経路積分 / Feynman path integral / 経路積分 / 停留位相法 / Stationary phase method / 量子力学 / Scrodinger方程式 / WKB法

研究概要

1.研究全体の取りまとめを行うと共に、Feynman経路積分の数学的基礎づけの研究をつづけた。計画書に上げた目標の伊藤清の理論を拡張することには、残念ながらまだ成功していないが、渡辺一雄助手、佐賀大学の三苫至教授、工学院大学熊ノ郷直人講師の協力を得て、Wiener空間での振動積分の研究を始めた、その中間結果をLisbon大学でのシンンポジュームで発表した。
2.分担者黒田は、ポイント相互作用と呼ばれる特異なポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式に対するハミルトニアンの構成法に端を発して、レゾルベントを通じて摂動作用素を構成する一般的方法の構築と応用に関し、Stockholm大学のKurasovと共同研究をしまた、長谷とも共同研究を行いそれぞれ成果を発表した。
3.分担者水谷は、鈴木貴教授(大阪大学大学院理学研究科)と共同で、退化する非線型放物型方程式の有限要素法による近似解法を研究した。この際、順序保存性、L^1空間での縮小写像性を保つスキームを工夫し、その近似解が真の解へL^1空間で収束することを示した。
4.分担者渡辺は、[1]では特異性の高いポテンシャルを持つハミルトン形式の研究をスエーデンのKurasov教授との共同研究を進めている。[2]では、特異性あるポテンシャルを持つハミルトン形式が連続スペクトルの中に埋め込まれた固有値を持つときの研究をした。[4]では大阪大学鈴木貴教授らとともに、Maxwell方程式の解が、空間のある部分多様体に対して、制限を取ると思いがけないなめらかさを持つことを示した。
5.分担者竹内慎吾は、退化拡散項をもつロジスティック方程式の解の漸近挙動を研究した。続いてこの方程式の係数を複素数としたいわゆる(退化拡散の)複素ギンツブルグ・ランダウ方程式の研究を行った。係数が複素数となると解の挙動はよりつかみづらいものになるが、いずれの場合も大域的アトラクターの存在が確認された。特に後者に対して次元によらずに存在が示されたことが新しい。

研究成果

• [文献書誌] S.T.Kuroda, Hiroshi Nagatani: "Resolvent formulas of general type and its application to point interactions"J. Evol. Equ.. 1 No.4. 421-440 (2001)
• [文献書誌] Pavel Kurasov, S. T. Kuroda: "Krein's formula and perturnbation theory"J. Operator Theory. (to appear).
• [文献書誌] Pavel Kurasov, Kazuo Watanabe: "On H_<-4>-perturbations of self-adjoint operators"Operator theory : Advances and Applications. 126. 179-196 (2001)
• [文献書誌] Kazuo Watanabe: "On the embedded eigenvalues for the self-adjoint operators with singular perturbations"Tokyo Journal of Mathematics. 25. 323-334 (2002)
• [文献書誌] Kazuo Watanabe: "Smooth perturbations of the self-adjoint operators defined by the H_<-2>-Construction"Mathematicshe Nachrichten. 250. 104-114 (2003)
• [文献書誌] T.Kobayashi, T.Suzuki, Kazuo Watanabe: "Interface regularity for the Maxwel and Stokes systems"0saka J. Math.. (to appear).
• [文献書誌] S.Takeuchi: "Asymptotic behavior of solutions for partial differential equations with degenerate diffusion and logistic reaction"Nonlinear Anal.. 47. 1715-1724 (2001)
• [文献書誌] S.Takeuchi: "Positive solutions of a degenerate elliptic equation with logistic reaction"Proc. Amer. Math. Soc.. 129. 433-441 (2001)
• [文献書誌] S.Takeuchi: "Multiplicity result for a degenerate elliptic equation with logistic reaction"J. Differential Equations. 137. 138-144 (2001)
• [文献書誌] S.Takeuchi, T.Yokota: "A note on stability for stationary solutions of nonlinear parabolic equations"Mathematical Aspects of Modelling Structure Formation Phenomena, GAKUTO International Series, Mathematical Sciences and Applications. 17. 119-129 (2001)
• [文献書誌] 黒田 成俊: "微分積分"共立出版. 437 (2002)