非線形放物型および楕円型方程式の解の挙動に関する研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640205
• 研究機関: 東京学芸大学
• 研究代表者: 溝口 紀子 東京学芸大学, 教育学部, 助教授 (00251570)
• 研究分担者: 窪田 佳尚 東京学芸大学, 教育学部, 教授 (30014715) ; 山田 陽 東京学芸大学, 教育学部, 教授 (60126331) ; 柳田 英二 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80174548) ; 伊藤 一郎 東京学芸大学, 教育学部, 助教授 (60134764)
• キーワード: 非線形 / 放物型 / 爆発 / 大域解 / 臨界指数 / complementary space / stable domain

研究概要

Neumann境界条件の下でのベキの形の非線形をもつ半線形熱方程式の解の有限時間での爆発に関してはこれまでほとんど研究されていなかった.それは,爆発する解の挙動を詳しく調べるためには解がどのようなrateで爆発するかを知ることがまず必要になるが,初期値問題やDirichlet境界条件の場合と異なりNeumann境界条件の場合は有名なGiga-Kohnの方法が適用できないことが原因であると思われる.私は石毛和弘氏(名古屋大学)との共同研究で拡散係数が大きい場合には解はGiga-Kohnで得られたのと同じorderで爆発し同様の振る舞いをすることを証明した.さらに,解の爆発において拡散項がどのように影響するのかを調べるために,拡散係数を非常に大きくしたときに爆発点の位置の研究を行った.その結果として,考えている領域でのNeumann境界条件の下でのlaplacianの第2固有関数の最大点の近傍でしか解の爆発は起こらないことが分かった.
また,この方程式の初期値問題においては,指数がある値を越えると解の構造が急激に変化する.柳田英二氏は,指数がある臨界値を超えたときに,定常解の大域的安定性を示した.また,その応用としてきわめて複雑な振る舞いを示す解の存在や,非有界大域解の存在を示した.
山田陽氏はde Brangesのlinear contractionに関するcomplementary spaceの基本的な性質を調べ,それを用いて奈良女子大学の高橋氏のextended interpolation問題の単位円の場合の簡明な別証明を得た.
窪田佳尚氏はBanach空間のautomorphismのstable domainに関して研究し,結果を得た.
伊藤一郎氏は以上の研究の応用として情報教育に関する研究を行った.

研究成果

• [文献書誌] N.Mizoguchi, K.Ishige: "Blow-up behavior for semilinear heat equations with Neumann boundary conditions"J.Differential Integral Equations. (to appear).
• [文献書誌] N.Mizoguchi: "On the behavior of solutions for a semilinear parabolic equation with supercritical nonlinearity"Math.Z. 239. 215-229 (2002)
• [文献書誌] N.Mizoguchi, E.Yanagida: "Life span of solutions for a semilinear parabolic problem with small diffusion"J.Math.Anal.Appl. 261. 350-368 (2001)
• [文献書誌] N.Mizoguchi: "Asymptotic behavior of zeros of solutions for parabolic equations"J.Differential Equations. 170. 51-67 (2001)
• [文献書誌] N.Mizoguchi, E.Yanagida: "Life span of solutions with large initial data in a semilinear parabolic equation"Indiana Univ.Math.J.. 50. 591-610 (2001)
• [文献書誌] P.Polacik, E.Yanagida: "Stable subharmonic solutions of reaction-diffusion equations on an arbitrary domain"Disc.Cont.Dyn.Systems. 8. 209-218 (2002)
• [文献書誌] E.Yanagida: "Mini-maximizers in reaction-diffusion systems with skew-gradient structure"J.Differential Equations. 179. 311-335 (2002)
• [文献書誌] E.Yanagida: "Standing Pulse Solutions in Reaction-Diffusion Systems with Skew-Gradient Structure"J.Dyn.Diff.Eqs. 4. 189-205 (2002)
• [文献書誌] E.Yanagida: "Stability of nonconstant stationary solutions for reaction-diffusion systems on graphs"Japan J.Indust.Appl.Math. 18. 25-42 (2001)
• [文献書誌] E.Yanagida, W.M.Ni, I.Takagi: "Stability of least energy patterns of the shadow system for an activator-inhibitor model"Japan J.Indust.Appl.Math.. 18. 259-272 (2001)
• [文献書誌] E.Yanagida, W.M.Ni, P.Polacik: "Monotonicity of stable solutions in shadow systems"Trans.Amer.Math.Soc.. 353. 5057-5069 (2001)
• [文献書誌] E.Yanagida, P.Polacik: "Existence of stable subharmonic solutions for reaction-diffusion equations"J.Differential Equations. 169. 255-280 (2001)
• [文献書誌] A.Yamada: "Ahlfors functions on compact bordered Riemann surfaces"J.Math. Soc.Japan. 53. 261-283 (2001)
• [文献書誌] Y.Kubota: "Stable domains of automorphisms of Banach spaces at fixed points"Bulletin of Tokyo Gakugei University, Sect.IV Mathematics and Natural Sciences. 53. (2001)
• [文献書誌] 伊藤一郎: "中学校における情報教育(東京学芸大学附属中学校での検討課題)167-174"情報処理学会情報教育シンポジウム論文集, IPSJ Symposium Series. 9. (2001)