流体方程式の解の大域挙動の研究

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640206
• 研究機関: 一橋大学
• 研究代表者: 石村 直之 一橋大学, 大学院・経済学研究科, 助教授 (80212934)
• 研究分担者: 森本 浩子 明治大学, 理工学部, 教授 (50061974) ; 山崎 昌男 一橋大学, 大学院・経済学研究科, 教授 (20174659)
• キーワード: Navier-Stokes方程式 / Blasius方程式 / Kuramoto-Sivashinsky方程式 / 解の大域挙動 / 爆発解

研究概要

1.流体方程式に関するある種の爆発解の研究
この研究課題においては、まずKuramoto-Sivashinsky(KS)方程式の定常解に関して、その爆発解の存在と爆発の度合いについての知見を得た。周知のようにKS方程式は4階非線形であり、定常解といえども複雑な解構造を持っている。大域単調解の非存在、何種類かの周期解の存在など、現在までにいくつかの結果が知られている。定常解の構造を解明することは、元の方程式の大域挙動に関しての理解に繋がると考えられている。さて爆発解はある地点からは単調となり、その単調性を利用すれば、高階方程式を低階の方程式に変形することができる。この変形の方法を用いて厳密な解析が可能となった。同様の方法はNavier-Stokes(NS)方程式の境界層方程式として著名なBlasius方程式の爆発解に関しても適用できた。Blasius方程式の場合は既に爆発解の存在は知られていたが、この変形法を用いることにより、今回その極めて初等的で見通しの良い別証明を与えることが可能となった。
2.流体方程式と関連した自由境界問題の研究
流体の現象では、その自然な一般化として自由境界を含んでモデル化する。自由境界問題とは、未知関数が定められている領域までも未知として取り扱う非線形問題である。この研究課題においては、流体方程式の研究において培われた解析手法や数値解法を適用することで、難解であるAmerican Put Optionの行使境界の近くにおける解の挙動について複雑な大域挙動を観測した。行使境界は空間時間の曲面としては連続であるが、その挙動としては極めて不確定であることが示された。

研究成果

• [文献書誌] Naoyuki ISHIMURA: "Remarks on third-order ODEs relevant to the Kuramoto-Sivshinsky equation"Journal of Differential Equations. 178. 466-477 (2002)
• [文献書誌] H.Imai, T.Takeuchi, S.S.Shanta, N.Ishimura, T.Aiki: "Numerical computation of Lyapunov exponents related to attractors in a free boundary problem"Nonlinear Analysis, T.M.A.. 47. 3823-3833 (2001)
• [文献書誌] 石村 直之, 今井 仁司, 竹内 敏己: "自由境界問題の数値解法--数理ファイナンスへの応用"一橋論叢. 126巻4号. 81-90 (2001)
• [文献書誌] Masao YAMAZAKI: "The Navier-Stokes Equation in Various Function Spaces"American Mathematical Society Translations Series 2. 204. 111-132 (2001)
• [文献書誌] Masao YAMAZAKI, Xiaofang Zhou: "Semilinear heat equations with distributions in Morrey spaces as initial data"Hokkaido Mathematical Journal. 30. 537-571 (2001)
• [文献書誌] Hiroko MORIMOTO, Hiroshi FUJITA: "Stationary Navier-Stokes flow in two-dimensional Y-shape channel under general outflow condition"Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. 223. 65-72 (2002)
• [文献書誌] 石村 直之: "パワーアップ 微分方程式"共立 出版. 120 (2001)