ポアソン多様体の解析的変形と非可換幾何学

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640208
• 研究機関: 名古屋工業大学
• 研究代表者: 夏目 利一 名古屋工業大学, 工学部, 教授 (00125890)
• 研究分担者: 大山 淑之 東京女子大学, 文理学部, 助教授 (80223981) ; 中村 美浩 名古屋工業大学, 工学部, 助教授 (50155868) ; 足立 俊明 名古屋工業大学, 工学部, 教授 (60191855) ; 森吉 仁志 慶応義塾大学, 理工学部, 助教授 (00239708)
• キーワード: ポアソン多様体 / C*環 / 解析的変形 / 非可換幾何学

研究概要

本年は2年計画の最終年度にあたる。本研究の目的はポアソン多様体に対して解析的変形が存在することを構成的に示すことである。任意のポアソン多様体は代数的変形(変形量子化)を持つことは長い間の懸案であったが、1999年M.Kontsevichにより肯定的に証明された。代数的変形と解析的変形の関係は、形式的べき級数とそれを実現する無限回連続微分可能関数の関係に類似している。
シンプレクティック多様体はポアソン多様体の特別な場合であり構造が比較的よく分かっている。本計画の当初、先ずシンプレクティック多様体に対して解析的変形の存在を考察し、コペンハーゲン大学のR.Nest、ミュンスター大学のI.Peterとの共同研究において、与えられたシンプレクティック多様体の第2ホモトピー群が自明である場合、解析的変形が存在すること牽示し、その結果を論文「Strict quantization of symplectic manifolds(Letters in Mathematical Physics掲載予定)」としてまとめた。
第2ホモトピー群が自明でない閉シンプレクティック多様体の例が2次元球面である。2次元球面に対して解析的変形の存在ニューヨーク州立大学バファロー校のC.L.Olsenとの共同研究において考察した。2次元球面は回転で不変なシンプレクティック構造から定まるポアソン構造以外にも多くの重要なポアソン構造を持つ。南北両極で退化するポアソン構造に対して解析的変形の存在を示し、論文「A new family of noncommutative 2-spheres(Journal of Functional Analysis掲載予定)」としてまとめた。
上記Nest、Peterとの共著論文で用いられた手法をさらに精密化することにより、Nestとの共同研究において任意の閉シンプレクティック多様体は解析的変形を持つことを示すことができ、その結果を現在論文としてまとめつつある。

研究成果

• [文献書誌] T.Natsume, R.Nest: "Strict quantization of symplectic manifolds"Letters in Mathematical Physics. (掲載予定). (2003)
• [文献書誌] T.Natsume, C.L.Olsen: "A new family of noncommutative 2-spheres"Journal of Functional Analysis. (掲載予定). (2003)
• [文献書誌] T.Adachi, S.Maeda, K.Suzuki: "Characterization of totally geodesic Kahler immersions"Hokkaido Mathematical Journal. 31(3). 629-641 (2002)
• [文献書誌] T.Adachi, S.Maeda: "Characterizations of space forms by circles in their geodesic spheres"proceedings of Japan Academy, Ser.A Math. Sci.. 78(7). 143-147 (2002)
• [文献書誌] T.Adachi, S.Maeda, K.Suzuki: "A characterization of Veronese imbeddings into complex projective Spaces by circles"C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can. 24(2). 61-66 (2002)
• [文献書誌] T.Adachi, S.Maeda, M.Yamagishi: "Length spectrum of geodesic spheres in a non-flat complex spaces form"Journal of Mathematical Society of Japan. 54(2). 373-408 (2002)
• [文献書誌] 夏目利一, 森吉仁志: "作用素環と幾何学"日本数学会. 228 (2001)