| 研究概要 |
Bennett Palmer 博士(University of Durham, UK)との共同研究により,3次元ユークリッド空間内の,平均曲率が高さの一次関数であるような,はめ込まれた曲面(PMC曲面と呼ぶことにする)の幾何学的性質と安定性についての多くの結果を得た.詳しくは,下記のとおりである.
(1)PMC曲面に対するFlux公式及びバランス公式を構成し,それらを用いることにより,PMC曲面の幾何学的な性質に関する結果を得た.そのうちの主なものを次に記す.
(i)コンパクトで境界のない安定なPMC曲面は,標準球面のみである.
(ii)コンパクトで境界のないPMC曲面であって,体積非零のものは,平均曲率一定である,したがって,特に,コンパクトで境界のない埋め込まれたPMC曲面は,標準球面のみである。
(iii)コンパクトで境界のないPMC曲面であって,その平均曲率が曲面上定符号であるものは,平均曲率一定曲面のみである.
(iv)水平面内の半径rの円周で張られるコンパクトなPMC曲面の平均曲率Hが,曲面上定符号ならば,境界上ではHの絶対値は1/γを超えない.
(v)平面曲線で張られる埋め込まれたPMC曲面が,境界と同じ対称性を持つための,十分条件を得た.
(2)エネルギーの第2変分に附随する固有価問題の固有値及び固有関数を用いることにより,PMC曲面が,PMCという性質と境界を保つ変形を持つための条件を求めた.
(3)平面曲線で張られる,埋め込まれたPMC曲面の安定性に関する結果を得た.
(4)強安定なPMCグラフの高さに関する上からの評価を初期データによって表した.
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