| 研究概要 |
1.3次元ユークリッド空間内の,「体積一定」という条件のもとでの,「表面積+重力エネルギー」の変分問題の解(の表面)は,平均曲率が高さの一次関数であるような曲面となる.はめ込まれた曲面であって,平均曲率が高さの一次関数であるようなものについて,その幾何学的性質と安定性に関する多くの結果を得た.
2.重力を無視できないような薄膜に関する変分問題を提唱し,部分的に自由境界をもつ特別な場合について,すべての解を求め,さらにそれらの安定性・不安定性を完全に決定した.
3.3次元ユークリッド空間内の非等方的平均曲率一定曲面の幾何学的性質と安定性について,下記の結果を得た.ただしここで,「非等方的平均曲率定曲面(以下ではCAMC曲面と呼ぶことにする)」とは,体積一定なる条件のもとでの非等方的表面エネルギーの臨界点を与える曲面であり,平均曲率一定曲面の一般化になっている.
(1)非等方的表面エネルギーの第2変分公式を導き,CAMC曲面に対する安定性の概念を定式化した.
(2)CAMC曲面のガウス写像が(ある種の)エネルギー最小性を持つことを示した.
(3)完備で安定なCAMC曲面に関する一意性定理を得た.
(4)回転対称なCAMC曲面について,表現公式を求め,幾何学的性質及び安定性を解析した.
(5)CAMC曲面のガウス写像の除外値について研究し,ガウス曲率のL^1評価,一意性定理,安定であるための十分条件等に関する結果を得た.
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