超離散ソリトン方程式の代数構造の究明と工学への応用

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640212
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 永井 敦 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助手 (90304039)
• 研究分担者: 近藤 弘一 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助手 (30314397) ; 辻本 諭 京都大学, 大学院・情報学研究科, 講師 (60287977) ; 尾角 正人 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (70221843)
• キーワード: ソリトン / 超離散 / ソリトンセルオートマトン / 保存量 / クリスタル / 4階微分方程式 / グリーン関数 / パフィアン

研究概要

本年度は、独立変数および従属変数を離散化(超離散化)したソリトン方程式を中心にして、基礎工学のさまざまな分野に登場する離散方程式や微分方程式の研究を行った。また超離散ソリトン系との関連が指摘されているクリスタルの理論に関してより詳細に調べた。得られた成果は以下の通りである。
1.代表的な超離散ソリトン系であるソリトンセルオートマトンが、ある拡張された戸田分子方程式の超離散化を通して得られる事実に基づいて、ソリトンセルオートマトンの保存量を計算した。
2.クリスタルの理論がアフィンリー環の指標に関係する恒等式の証明に応用できることを示した。アフィンリー環のタイプがB^<(1)>_n, D^<(1)>_n, A^<(2)>_<2n>, D^<(2)>_<n+1>の場合に、あるクリスタルの系列の組合せRを組合せ論的に求めた。
3.ベルヌーイ、オイラーに端を発し基礎工学のさまざまな分野に登場するある種の4階常微分方程式の境界値問題の研究を行った。境界値問題において重要な役割を果たすグリーン関数と呼ばれる積分核を求め、その正値性や階層構造を厳密に証明した。
4.既知の離散ソリトン方程式に対してパフィアン化と呼ばれる操作を行うことによって新しい結合型離散可積分方程式を得た。

研究成果

• [文献書誌] A.Nagai, T.Tokihiro, J.Satsuma: "Conserved quantities of box and ball systems"Glasgow Mathematical Journal. 43A. 91-98 (2001)
• [文献書誌] Y.Kametaka, K.Takemura, Y.Suzuki, A.Nagai: "Positivity and hierarchical structure of Green's functions of 2-point Boundary value problems for bending of a beam"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 18. 543-566 (2001)
• [文献書誌] M.Okado, A.Schlling, M.Shimozono: "Crystal bases and q-identities"Comtemporary Mathematics. 291. 29-53 (2001)
• [文献書誌] G.Hatayama, A.Kuniba, M.Okado, T.Takagi: "Combinatorial R matrices for a family of crystals : B^<(1)>_n, D^<(1)>_n, A^<(2)>_<2n>, and D^<(2)>_<n+1> cases"Journal of Algebra. 247. 577-615 (2002)
• [文献書誌] C.R.Gilson, J.J.C.Nimmo, S.Tsujimoto: "Pfaffianization of the discrete KP equation"Journal of Physics A. 34. 10569-10576 (2001)
• [文献書誌] R.Hirota, M.Iwao, S.Tsujimoto: "Soliton equations exhibiting Pfaffian solutions"Glasgow Mathematical Journal. 43A. 33-42 (2001)