関数方程式の解析関数解の大域的研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640221
• 研究機関: 慶應義塾大学
• 研究代表者: 下村 俊 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (00154328)
• 研究分担者: 谷 温之 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (90118969) ; 塩川 宇賢 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (00015835) ; 菊池 紀夫 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (80090041) ; 中野 実 慶應義塾大学, 理工学部, 講師 (00051607) ; 仲田 均 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (40118980)
• キーワード: 漸近展開 / Painleve方程式 / 値分布 / 位数 / Garnier系 / PI-hierarchy

研究概要

1.二重週期関数を係数にもつRiccati型方程式の有理関数解の周期性について調べた。週期解はすべて二重週期的であることを示し、その週期および解の表示式を求めた。
2.単週期的有理型関数を係数にもつ線形常微分方程式の解の零点分布を調べた。解のStokes現象を考察することにより、Hill方程式、Mathieu方程式を含むある線形方程式のクラスについて、解の零点の密度に関する評価式を与えた。
3.Painleve超越関数のうち(I),(II),(IV)については、その増大度の上からの評価式を与えた。また、(III),(V)については、universal covering上での増大度を上から評価した。さらに、(I)の増大度については下からの評価式を与えることができた。さらに、Painleve超越関数のsmall tangetに関する値分布を調べた。
4.PI-hievarchyに属する高階Painleve方程式について、その有理型関数解の極の個数の下からの評価式を得た。これにより、PI-hierarchyにより定義される有理型関数の位数について一つの予想を与えた。

研究成果

• [文献書誌] Shun Shimomura: "On deficiencies of small functions for Painleve transcendents of the fourth kind"Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI Math.. 27. 109-120 (2002)
• [文献書誌] Shun Shimomura: "Oscillation results for n-th order linear differential equations with meromorphic periodic coefficients"Nagoya Muth. J.. 166. 55-82 (2002)
• [文献書誌] Shun Shimomura: "Growth of the first, the second and the fourth Painleve transcendents"Math. Proc. Camb. Phil. Soc.. (to appear).
• [文献書誌] Shun Shimomura: "Growth of modified Painleve transcendents of the fifth and the third kind"Forum Math.. (to appear).
• [文献書誌] Shun Simomura: "Lower estimates for the growth of Painleve transcendents"Funkcial. Ekvac.. (to appear).
• [文献書誌] Katsuya Ishizaki, Ilpo Laine, Shun Shimomura, Kazuya Tohge: "Riccati differential equations with elliptic coefficiets, II"Tohoku Math. J.. (to appear).
• [文献書誌] Valerii I.Gromak, Ilpo Laine, Shun Shimomura: "Painleve Differential Equations in the Complex Plane"Walter de Gruyter, Berlin. 303 (2002)