擬軌道尾行性をもつベクトル場の分岐に関する研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13640225
• 研究機関: 宇都宮大学
• 研究代表者: 酒井 一博 宇都宮大学, 教育学部, 助教授 (30205702)
• 研究分担者: 保坂 哲也 宇都宮大学, 教育学部, 講師 (50344908) ; 北川 義久 宇都宮大学, 教育学部, 教授 (20144917) ; 藤平 秀行 宇都宮大学, 教育学部, 教授 (70114171)
• キーワード: 擬軌道尾行性 / shadowing property / Axiom A / ベクトル場 / 構造安定性 / connectin lemma / 分岐 / カオス

研究概要

昨年度までの研究では,「擬軌道尾行性をもつベクトル場を力学系理論の立場で特徴付けする」という13年度の目的は残念ながら達成できなかったものの,擬軌道尾行性よりも強いLipschitz-擬軌道尾行性及び位相安定性をもつベクトル場の内点集合については大局的な微分構造も含め完全に解明され,ある程度満足のいく結果を得ることができた.今年度は,引き続き力学系理論の立場で擬軌道尾行性をもつベクトル場を特徴付ける微分幾何学的構造を見い出し分岐現象の解明に努力してきた.
擬軌道尾行性をもつベクトル場全体の集合をSPで表し,ベクトル場全体の中でのC^1位相に関するSPの内点集合をintSPで表す.この内点集合を特徴付けるときに大きな障害となっていたのが特異点の存在である.14年度の研究では,Axiom Aと強横断性条件を満たすベクトル場Xから生成されるクロウX_tの特異点周りにおける振舞いを詳細に解析した.その結果,特異点の近傍においてX_tはある特殊な性質を満たすことを発見した.ここでは,その性質を(*)と呼ぶことにする.さらに研究を推し進めることにより,今回,「X∈intSPが(*)をもつ」ことと「XがAxiom Aと強横断性条件を満たすこと」が同値であることを解明した(XがAxiom Aと強横断性条件を満たせば,XはintSPに属することはすでに知られている).これにより,多少条件付ではあるが13年度の研究目的が達成できたことになる.
現在は,上記結果を基礎として擬軌道尾行性をもりベクトル場を含む1-パラメーター族に対し,パラメーターと共にその軌道構造がどのように変化するかを調べそのメカニズムの解明を行っている.

研究成果

• [文献書誌] Pilyugin S.Yu., Rodionova, A.A., Sakai, K.: "Orbital and weak shadowing properties"Discrete and Continuous Dynamical Systems. 9. 287-308 (2003)
• [文献書誌] Sakai, K.: "Diffeomorphisms with C^2-stable shadowing"Dynamical Systems : An International Journal. 17. 235-241 (2002)
• [文献書誌] Sakai, K.: "A note on weak shadowing"Far East Journal of Dynamical Systems. 3. 45-49 (2001)
• [文献書誌] Sakai, K.: "Diffeomorphisms with weak shadowing"Fundamenta Mathematicae. 168. 57-75 (2001)
• [文献書誌] Moriyasu, K., Sakai, K., Sumi, N.: "Vector fields with topological stability"Transactions of the American Mathematical Society. 353. 3391-3408 (2001)
• [文献書誌] Sakai, K.: "Shadowing properties of L-hyperbolic homeomorphisms"Topology and its Applications. 112. 229-243 (2001)
• [文献書誌] Sakai, K.: "Various shadowing properties for positively expansive maps"Topology and its Applications. (to appear).
• [文献書誌] Moriyasu, K., Sakai, K.: "A note on Mane's proof of the stability conjecture"Far East Journal of Dynamical Systems. (to appear).
• [文献書誌] Kitagawa, Y.: "Deformable flat tori in S^3 with constant mean curvature"Osaka Journal of Mathematics. 40. 103-119 (2003)
• [文献書誌] Hosaka, T.: "Limit sets of geometrically finite groups acting on Busemann spaces"Topology and its Applications. 122. 565-580 (2002)
• [文献書誌] Hosaka, T.: "Parabolic subgroups of finite index in Coxeter groups"Journal of Pure and Applied Algebra. 169. 215-227 (2002)
• [文献書誌] Hosaka, T.: "On the cohomology of Coxeter groups"Journal of Pure and Applied Algebra. 162. 291-301 (2001)
• [文献書誌] Hosaka, T.: "A splitting theorem for CAT(O) spaces with the geodesic extension property"Tsukuba Journal of Mathematics. (to appear).
• [文献書誌] Hosaka, T.: "The interior of the limit set of groups"Houston Journal of Mathematics. (to appear).