| 研究概要 |
この研究は,変形量子化によって得られるクラスの非可換空間上で場の理論を構成しその物理への応用を目的としている。非可換空間上の場の理論は弦理論などにも現れ非常に応用範囲の広い理論と思われる。このような非可換空間上の場の理論の本質は,曲率を持った空間上での理論に現れると考えられる。しかし,平坦な4次元の場合ゲージ理論のインスタントン解の構成などが非可換空間上の理論にすなおに拡張できたことに比べると,曲がった非可換空間上の研究は困難である。この原因の一つに,簡単に扱える例が少ないことにある。一方,曲がった空間の例である量子球面の解析では,その表現空間の有限性のために,格子ゲージ理論とよく似た性質を示すことがわかり,カイラルフェルミオンの性質を研究することによって,有限化された場の理論の一般的性質の解明にも役立つことが分かってきた。このため,さらに一般な非可換空間の例の研究が望まれる。我々は従来の2次元の量子球面の拡張として量子化されたCPnを取り上げ,ゲージ場の配位の解析と特にそのトポロジカルな構造の解析を行った。CPn,つまり複素射影空間は原理的には,その複素構造から決まるポアッソン構造を使って変形量子化できる。しかし,量子化したのち調和関数環を量子化した代数が得られるが,その代数の生成元の間の拘束条件が複雑なために,その上でのゲージ場の配位の解析などを行うことが困難だった。そこで,さまざまな形の量子化の方法を比較することにより,拘束条件の解析を行いより複雑な系への応用が可能になる手法の研究を行った。これらの研究によって,非可換CPn上の非自明なラインバンドル(線束)に対応する射影加群を構成する方法が解明できこの結果,非可換CPnにおけるゲージ場の配位でモノポール解に相当する配位の構成に成功した。しかし,トポロジカルな数を求めようとするときに,量子化したのちのある部分空間上の積分を定義,実行する必要がある.特に非可換複素射影空間のにおいて,この解析を行い,チャーン数を求めることに成功した.これらの結果はhepth/0404130にまとめられている。
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