| 研究概要 |
弦双対性の発見により,物理におけるさまざまな現象が幾何学的な解釈を持つことが明らかにされ,これを武器として従来の摂動論的弦理論では調べることの困難な領域で場の理論の様子を議論することが可能となった.特に,行列模型がきっかけとなって,6次元のN=(1,0)型の超対称性を持ち,E8型の大域対称性を持つ,全く新しい繰り込み群の固定点が見いだされた.この固定点は,M理論においてはM5ブレーンがM9ブレーンに近づいた場合に現れ,また,F理論のカラビ・ヤウコンパクト化において,余次元1の有理楕円曲面が1点につぶれる場合にあたる.この固定点を場の理論として記述しようとしても,テンソル多重項に含まれる自己双対場の存在のためにラグランジアンによる記述が不可能であり,また,1次元的に広がった素励起「E-string」が本質的であると考えられている.
このように,従来の手法による解析が困難だが繰り込み群の立場からは極めて興味深い固定点を調べるのがこの研究の目的である.4次元N=2ゲージ理論のサイバーグ・ウィッテン解によれば,場の理論を結合定数によってパラメトライズされた族としてとらえ,その大域的な構造を調べることが大変有効であることが明らかになってきた.たとえば臨界現象は,消滅輪体の存在と密接に関連する.この考え方を,E-stringの場合にも利用する.
超対称ゲージ理論における繰り込み群はモジュライ空間の各点に並んだ楕円曲線の変形族として、また、場の理論の双対性はファイバー構造に付随した被覆変換ととらえられる加藤は粟田氏(名大数理)、金銅氏(名大数理)、斉藤氏(東大数理)、清水氏(国際基督教大)、土屋氏(名大数理)と共同で、有理楕円曲面の幾何学的構造と超対称ゲージ理論のダイナミカルな性質との関係を、特に位相的ゲージ理論(E-string)の分配関数を詳細に調べている。現在は特に、有理楕円曲面と対合付きのK3曲面の関係を詳細に調べている。
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