| 研究概要 |
多次元系の非線形波動現象で,解の安定性解析はその重要性にもかかわらずあまり解析が行われていない課題である.本研究の目的は,2次元の非線形可積分方程式の代表的なモデルである,デービー=スチュアートソン(DS)方程式を対象に,ホモクリニック解を求めて安定性解析の基礎を作ることである.
ホモクリニック解は,系に生じた攪乱が不安定性によって成長し,非線形飽和する解である.その具体的な形を求めるためには,平面波解とその時間的な成長,および,方程式のダルブー変換を求めなければならない.本研究の成果としては,まず,DS方程式の平面波解を求め,それに付随したヨスト関数の時間的な振る舞いを明らかにしたことがあげられる.1次元の場合とは異なり,ヨスト関数が成長するためには平面波解の空間構造が必要である.これによって,1次元系の安定性解析の結果を2次元に適用する場合に生じる問題点を明らかにした.次に,平面波に生じた微小攪乱の成長率を評価した.特に微小攪乱が平面波の構造を持つ場合について,成長率がみたすべき式を導出し,系に特異的な境界条件が課せられていなければ,充分時間が経過すると境界の影響はなくなり,攪乱の時間成長率が解と攪乱の波数ベクトルだけで決まることが示され,安定性解析のための基礎を与えた.
また,DS方程式に付随した線形固有値問題では空間微分演算子の出現形態の多様さから,ダルブー型変換の導出は難しいが,1次元へのリダクションを考慮した条件を導入して,ホモクリニック解の導出に便利な形でのダルブー型変換の導出に成功した.この結果により,変換と方程式の構造の関係が明らかになった.さらに,以上の結果を用いて新しい解の具体形を求めた.このようにして求めた解は,変換の際に課した付加条件を反映した空間構造を持つ.
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