漸近展開に基づくファイナンスにおける数値的評価問題の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13680509
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 高橋 明彦 東京大学, 大学院・経済学研究科, 助教授 (50313226)
• キーワード: 漸近展開 / マリアバン解析 / 数理ファイナンス / 金融経済 / 金融工学 / ファイナンス / デリバティヴ / ポートフォリオ

研究概要

本年度の主要な研究実績として、漸近展開法によるファイナンスの数値的問題の研究を集大成し,国友教授と共に「数理ファイナンスの基礎-マリアバン解析と漸近展開の応用-」と題した本を出版した。その中で派生証券理論とポートフォリオ理論に関する基礎事項を解説すると共に,一見関連のないように見える漸近展開法がいかにそれらの問題に活用できるかを示した。
さらに漸近展開法の新しい活用法として,アメリカン・オプションの効率的数値計算法を開発した。(漸近展開法を用いたアメリカン・オプションの評価法[2003])特に原資産価格の確率過程が一般のマルコフ過程に従う場合、アメリカンオプション価値をヨーロッパ型の価値と期限前行使価値とに分解できることを示し、その各々に漸近展開法を適用することで擬似解析的な計算スキームを開発した。
他の新しい結果としては、以前開発した動的最適ポートフォリオ問題の、効率的計算法(An Asmptotic Expansion Scheme for the Optimal Investment Problems-Statistical Inference for Stochasitc Processesに掲載予定-)を発展させモンテカルロ法の高速化を実現しマリアバン解析による数学的正当化を行った。
(Monte Carlo Simulation with Asymptotic Method-Preprint-)
最適ポートフォリオ問題に対してのみならず派生証券価値の評価などへのこの方法の応用範囲は広い。モンテカルロ法の効率化として制御変数法(control variate method)との類似点はあるが、制御変数法は制御変数を見つけることが一般的には困難であるのに対し、我々の方法は漸近展開法を活用してかなり一般的な問題や確率過程に対して統一的方法で制御変数がもとまる点に大きな優位性がある。特に、通常難しいとされる、瞬間的フォワード金利が必ずしもマルコフ型とならない確率過程に従う金利モデルの場合の派生証券価値の評価に極めて有効であることが分かった。
さらには、原資産価格がジャンプ・拡散過程に従う場合のオプション価値評価の漸近展開法も開発し、上述のモンテカルロ法の高速化の適用も実現した。(Applications of the Asymptotic Expansion Approach based on Malliavin-Watanabe Calculus in Financial Problems-Stochastic Processes and Applications to Mathematical Financeに掲載予定-)

研究成果

• [文献書誌] Kunitomo, N, Takahashi, A: "On Validity of the Asymptotic Expansion Approach in Contingent Claim Analysis"Annals of Applied Probability. 13. 914-952 (2003)
• [文献書誌] 高橋明彦, 斉藤大河: "漸近展開法を用いたアメリカン・オプションの評価法"金融研究. 22. 35-87 (2003)
• [文献書誌] Takahashi, A, Yoshida, N: "An Asymptotic Expansion Scheme for the Optimal Investment Problems"Statistical Inference for Stochastic Processes. 発表予定.
• [文献書誌] Kunitomo, N, Takahashi, A: "Applications of the Asymptotic Expansion Approach based on Malliavin-Watanabe Calculus in Financial Problems"Stochastic Processes and Applications to Mathematical Finance. 発表予定.
• [文献書誌] 高橋 明彦: "ファイナンスの数理と実務"数学通信. 8巻4号. 4-14 (2004)
• [文献書誌] 高橋明彦, 國友直人: "数理ファイナンスの基礎-マリアバン解析と漸近展開の応用-"東洋経済新報社. 273 (2003)