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研究目的「正標数の体の上の代数曲線の幾何的基本群の構造、特に、正標数代数閉体上の代数曲線に関するGrothendieck予想」に関して、Pop-Saidi及びRaynaudにより、有限体の代数閉包の上の双曲的代数曲線に関する弱いGrothendieck型予想(同型な基本群を持つ曲線の同型類の有限性)の成立が、いくつかの比較的強い条件の下で証明されていたが、昨年度末にそれらの条件を外すことに成功し、一般的な定理を得た。今年度は、この結果を論文に執筆しほぼ完成に至ったが、その途中で種種の関連する結果が得られた。特に、研究目的「局所体の上の代数曲線の数論的基本群の構造、特に、基本群とその商における惰性群の作用の様子」に関して、正標数局所体の上の代数曲線の(tame)基本群のspecialization mapの非同型性や、外monodromy表現の非自明性が得られたのは興味深い。また、証明の道具として開発した、一般化されたPrym多様体に対する局所Torelli問題や曲線の被覆のgonalityの(下からの)評価などは、基本群の研究だけでなく、純に曲線の代数幾何に関する結果としても有用であると期待している。強いGrothendieck型予想については、種数0の場合には以前に既に示すことができていたが、一般の場合には、全く手付かずである。今回の弱いGrothendieck型予想の完全解決を足掛かりにして、来年度以降は、強い予想の証明に取り組みたい。
また、研究目的「大域体の上の代数曲線の数論的基本群の構造、特に、無限次代数体上の代数曲線に関するGrothendieck予想」については、フランス、韓国、日本での研究発表の機会に、現時点で得られている結果を整理することができた。上記の弱い予想に関して同様な結果が得られるかは来年度以降の課題である。
最後に、研究目的「大域体の上の代数曲線の数論的基本群の構造、特に、1、2の研究を基にした逆Galois問題へのアプローチ」については、(今年度も散発的に考えてはいたが)来年度以降本格的に取り組みたい。
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