| 研究概要 |
1.NLS階層の多項式解
Affine Lie環の表現論を積極的に用いることにより、NLS階層の多項式解を構成することができた.その解は有限鎖の各頂点上に.長方形のヤング図形に対するSchur多項式が並ぶという構造を持っている.この解のサポート多面体は1次元単体(すなわち線分)という最も簡単な凸体になっている.逆に,1次元単体をサポート多面体に持つような多項式解はすべてここで構成されたものに一致するという強い結果も得られた.NLS階層の場合,一般の多項式解のサポートは2次元の凸体すなわち多角形である,その多角形の境界をなす1次元単体上に着目すると.上記の解と全く同様の構造を持っていることが計算機実験などによりわかってきた.解の極因子の運動方程式を考察するなどの方法を引き続き用いて,組み合わせ論的な記述を得るための研究を続けたい.
2.矢嶋・及川階層の多項式解
NLS階層と同様,2成分KP階層への埋込みを用いて記述できる階層のもう一つの例として,A型の「(1+2)簡約」として生ずる階層を詳しく調べている.リー環の階数が上がるので3次元の凸体を考察して行くことになる.これまで表現論的な準備を整えてきた.その過程で多項式解の具体的構造に関する結果などが得られた.また,同次性条件を課すことにより,パンルヴェ性を持つと期待できる常微分方程式が得られた.この程式はAffine Weyl群の対称性を自然に持っており,このことを背景として,特解が組み合わせ論的に興味深い性質を示すことが期待できる.
3.NLS階層のトロイダル拡張
NLS階層のトロイダル拡張に関する種々の結果をまとめることができた.有理解(多項式タウ関数)に関する結果を含んでいる.
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