| 研究概要 |
本質的曲面を構成する方法として,結び目の外部の基本群のSL(2,C)への表現を考察する方法がある。それは、その様な表現全体を考え得られる空間は代数的集合となる。さらに、表現の指標全体の空間も代数的集合となることが知られている。その空間の特異点の周りの状況を精密に調べることにより、ある種の樹木への結び目の基本群の作用を得ることが出来、その作用により結び目の外部空間に本質的曲面が構成される。
今回の研究ではこの樹木とそれへの作用を、結び目のダイアグラムから具体的に構成出来ることを示した。これまでの研究ではいくつかの結び目のクラスに対してなされていたが、同様のことが全ての結び目の任意のダイアグラムについて出来ることを示した。結び目の交点数と本質的曲面の境界のスロープとの関係を、得られる樹木がある関係を満たす時に関して得ることが出来た。この2つの対象は全く関係が知られていず、それに関しての予想等も全く存在していなかった。今回示した内容は「結び目のダイアグラムから得られる結び目の外部の基本群の各生成元の樹木への作用の軸がある一点を通るとき、その本質的曲面の境界のスロープの絶対値は交点数の2倍以下になる」というものである。また、上のようにして得られる本質的曲面の境界のスロープの候補を、ダイアグラムから計算する方法を示した。この結果を用いると、結び目のダイアグラムを描くと、その外部の本質的曲面の境界のスロープの候補が得られるコンピューターのプログラムを作ることが出来る。
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