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特異点集合Σが単純閉曲線S^1と同相となる成分のみをもつ、3次元双曲錐多様体Mを考えるHodgson-Kerchhoffによって、錐角θが2π以下ならば、錐角を少しだけ変形させるという、Mの微小変形が可能であることが分かっている。このMの微小変形は、Σの管状近傍Uにおける微小変形で定まるというのが、双曲構造の変形の最大の特徴である。そこで、本研究では、U上での微小変形を記述するU上の調和1形式ωを具体的に表示し、3次元双曲錐多様体の微少変形がどのように起きているのかを考察して、3次元双曲錐多様体の大域的変形で退化という現象が生じないことを証明し、3次元双曲錐多様体の大域的剛体性に関する解析を行うことを目的としている。今年度の研究では、ωを記述する上で鍵となるU上の調和ベクトル場υの満たすべき連立常微分方程式を解くことに成功した。この連立常微分方程式は、3元の連立2階の線形常微分方程式であり、これを解くことと、式を変形してできる単独の6階線形常微分方程式を解くこととが同値である。この6階の常微分方程式は3点0、1、∞を確定特異点とするFuchs型の常微分方程式であるが、Lie環論の技術を用いることによって、Riemannの微分方程式を組み合わせて解くことができたのである。このような求積法によってυの満たすべき連立常微分方程式が解けることから、ωがGaussの超幾何函数で具体的に記述されることが分かるのである。
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