| 研究概要 |
本年度は,昨年に引続き,Seiberg-Witten方程式のスピン4次元閉多様体への応用を行った.その中で,古田幹雄氏よる10/8-定理を若干改良することができた.以下は全て古田幹雄氏との共同研究の結果である.
スピン4次元閉多様体の交差形式の正の固有値の個数をl,その符号数を16で割った数(必ず整数になる)を-kとするとき,lが正ならば,次の不等式が成り立つ.l【greater than or equal】2k+3k≡0(mod4),l【greater than or equal】2k+1k≡1(mod4),l【greater than or equal】2k+2k≡2(mod4),l【greater than or equal】2k+3k≡3(mod4).これらの不等式の右辺を2l+1としたものが10/8-定理である.またk=2,或はk=3のときは,古田幹雄氏,松江広文氏,南範彦氏との共同研究によって既に得られていた.
更に,スピン4元閉多様体の1次元Betti数が4で,1次元コホモロジーの元のカップ積から定まる判別式が奇数のとき,この不等式は若干よくなることもわかった.
最初の不等式以外は,ある種の同変ボルディズム理論をSeiberg-Witten方程式に適用することによって得られた.その後,古田幹雄氏による10/8-定理の証明で使ったK-理論的写像度を更に拡張することによって最初の不等式を導き出すことができた.
今後の研究において,1次元Betti数が0でないときにこれらの不等式を更に改良できるかどうか試みることは急務である.
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