界面運動及び自由境界問題の数理的解析に関する研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13740061
• 研究機関: 武蔵工業大学
• 研究代表者: 矢崎 成俊 武蔵工業大学, 工学部, 講師 (00323874)
• キーワード: クリスタライン・アルゴリズム / クリスタライン運動 / 爆発現象 / 界面運動 / 曲率流方程式 / 自己相似解 / 数値近似 / 結晶成長

研究概要

平面内の曲線の曲率運動、多角形のクリスタライン運動、及びクリスタライン・アルゴリズムの収束性の3項目において、研究成果を得ることができた。3項目についてその概要を説明していく。
平面閉曲線の曲率運動については、1980年代より盛んに研究されている。1986年、Abresch及びLangerにより、古典的曲率流方程式の自己相似解の分類がなされた。中村健一氏(電気通信大学)と私は、彼らの証明の問題点を発見し、それを修正するとともに、新たな証明方法を提案した。結果は国内の学会や研究集会で発表された。現在投稿準備中である。この方法はより一般の曲率流方程式の分類にも一部適用できることがわかった。完全な分類についてはこれからの課題である。
次に、クリスタライン運動の解の爆発時刻付近での挙動について調べた。そして、石渡哲哉氏(岐阜大学)と共に、いわゆるtypeIIとよばれる型の爆発のオーダーの抽出に成功し、国内学会や国際学会で発表した。現在のところtypeIIのオーダーはわずかしか知られていない。この結果は論文掲載が決まっているが、より一般の状況設定のもとでの証明もすでに得られている。これについては現在投稿準備中である。
最後に牛島健夫氏(東京理科大学)と共同で、面積保存曲率運動に対する面積保存クリスタライン・アルゴリズムの提案とその収束性について証明を与えることができた。一般に、非局所項をもつ放物型偏微分方程式に対する数値近似は、比較定理が使えないので、やや工夫を要する。われわれは、解のアプリオリ評価と離散ソボレフノルムを用いて証明に成功した。この結果は現在審査中である。

研究成果

• [文献書誌] T.Ishiwata, S.Yazaki: "On the blow-up rate for fast blow-up solution arising in an anisotropic crystalline motion"The Proceedings of the Sixth Japan-China-Joint as a special issue of Journal of Computational and Applied Mathematics (JCAM). (掲載予定).
• [文献書誌] 矢崎成俊: "雪の結晶成長機構のシミュレーション-横山・黒田モデルの研究-"第7回菅平スキー科学セミナー講演資料集. (掲載予定).
• [文献書誌] S.Yazaki: "On an area-preserving crystalline motion"Calculus of Variations and PDE. 14. 85-105 (2002)
• [文献書誌] S.Yazaki: "Asymptotic behavior of solutions to an expanding motion by a negative power of crystalline curvature"Advances in Mathematical Sciences and Applications. 12. 227-243 (2002)
• [文献書誌] K.-I.Nakamura, S.Yazaki: "曲率流方程式の自己相似解の分類"日本数学会2003年度年会応用数学分科会講演アブストラクト. 93-96 (2003)
• [文献書誌] 石渡哲哉, 矢崎成俊: "クリスタライン運動に現れる速い爆発解とdegenerate pinching"日本応用数理学会2002年度年会. (2002)