| 研究概要 |
単一次元測度のレイニー次元とハウスドルフ次元との関係について次のようなことがわかった.
1.レイニーの(情報)次元とパッキング次元は常に一致する.しかもこれらの値は,いつも上ボックス次元および、ツェーレの上情報次元と一致する.
2.レイニーの(情報)次元の定義を変更して下極限にした場合,力学系に弱いリプシッツ連続性を仮定すると,この次元とハウスドルフ次元は一致するが,このリプシッツ連続性を仮定しないとどうなるかは不明である.残念ながら一致しないような例は見つかっていない.
3.力学系に弱いリプシッツ連続性を仮定すると,ハウスドルフ次元とツェーレの下情報次元は一致するが,この場合もリプシッツ連続性を仮定しないとどうなるかは不明である.レイニーの(情報)次元とツェーレの下情報次元は一致すると予想されるが,これは今後の研究課題である.
力学系の定義する測度の絶対連続性・特異性の問題に関して,力学系にリプシッツ連続性を仮定し更に次元が正則である場合に,次元が一致するときに互いに絶対連続で,次元が異なれば特異になることがわかった.しかし力学系にリプシッツ連続性を仮定しない場合,次元が正則でなく単に単一性だけしか仮定しない場合については結果が得られておらず,これは今後の研究課題である.
今年度得られた以上の結果については,力学系のリプシッツ連続性や測度の次元の単一性・正則性といった観点から統一的に議論をした論文を準備中である.
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