| 研究概要 |
M⊂R^2を境界が滑らかな有界領域とし、c:[0,t_0]→R^2を∂M上の2点を結ぶ、M内の滑らかな曲線とする。c(0)=0を仮定する。ε∈[0, t_0に対し、M_ε=M＼c([ε,t_0))とおく。α∈(0,π)とする。b>0に対し、II^b_α={(x_1,x_2)∈R^2;x_2>0}＼{(γcosα,γsinα)∈R^2;r【greater than or equal】b}とおく。D(a,γ)をaを中心とする半径γのopen discとする。ここで∃_<r0>>0 ∃_<ε0>(0,t_0) ∀_ε∈(0,ε_0]M_ε∩D(0, r_0=II_ε_α∩D(0,r_0)を仮定する。M_+, M_をM_0の連結成分で(±_<ε0>/2,0)∈∂M_±を満たすものとする。L_εを∂M上でDirichlet境界条件、亀裂c((ε,t_0)上でNeumann境界条件に従うM上の(-Δ)とする。またL_±を∂M∩∂M_±上Dirichlet境界条件、c((0,t_0))上でNeumann境界条件に従うM_±上の(-Δ)とする。L_ε,L_+,L_の第一固有値をそれぞれλ_1(ε),λ_1+,λ_1-で表す。λ_1+,λ_1-を仮定する。β=α/πとおき、(ι)/(β)+(m)/(1-β)〓Z for all(l,m)∈Z^2＼{(0,0)}を仮定する。L_εの第一固有値λ_1(ε)の漸近展開について、次の結果を得た。
定理 λ_1〜Σ^^χ__<m=1>Σ^^χ__<n=0>Σ^^χ__<p=0>λ_<m,n,p>ε<m/β+n/(1-β)+2p> as ε→0.
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