非線形楕円型微分方程式における分岐、不完全分岐の大域的解明

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 13740116
• 研究機関: 宮崎大学
• 研究代表者: 壁谷 喜継 宮崎大学, 工学部, 助教授 (70252757)
• キーワード: 非線形楕円型方程式 / 不完全分岐 / 球対称性 / 大域分岐

研究概要

本補助金受給期間において、主にBrezis-Nirenberg型と呼ばれる、臨界Sobolev指数を含む微分方程式の解の大域的構造を研究を行った。まず、解の一意性について取りかかり、一意性が保証できる範囲を第三種境界条件のパラメータを関連づけて明確にし、その成果をProceedings of the Royal Society of Edinburgh誌において公表した。関連する、一意性を保証する一般論についても研究を行い、一意性が成り立つ一般的な条件を得、その成果を、Communications on Pure and Applied Analysis誌において公表した。
次に、一意性の成り立たない、不完全分岐が明確に起こる場合を考察し、不完全分岐が定数解の周りでどのようにして起こるかという起こり方と、可算無限個存在する不完全分岐枝相互の関係を、第三種境界条件の符号と絡めて解明し(符号の正負により不完全分岐の方向が異なる)、その成果をNonlinear Analysis誌において公表した。不完全分岐した分岐解の漸近挙動に関しても考察を加え、爆発の挙動とスケール変換後の解の漸近形状についての成果を得、Funkcialaj Ekvacioj誌において公表した。
また、Brezis-Nirenberg型とは少し異なる松隈型と呼ばれる、球状星団の重力ポテンシャルの満たす楕円型微分方程式も研究し、解の漸近挙動の解明(特に爆発と消滅に関する解のエネルギーノルムと最大値ノルムの挙動の違いの解明)と、それから派生的にわかる解の大域構造を解明し、その成果をJournal of Mathematical Society of Japan誌において公表した。

研究成果

• [文献書誌] Y.Kabeya, E.Yanagida, S.Yotsutani: "Global Structure of solutions for equations of Brezis-Nirenberg type on the unit ball"Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 131A. 647-665 (2001)
• [文献書誌] Y.Kabeya, E.Yanagida, S.Yotsutani: "Canonical forms and structure theorems for radial solutions to semi-linear elliptic problems"Communications on Pure and Applied Analysis. 1-1. 85-102 (2002)
• [文献書誌] Y.Kabeya, H.Morishita, H.Ninomiya: "Imperfect bifurcations arising from elliptic boundary value problems"Nonlinear Analysis. 48. 663-684 (2002)
• [文献書誌] Y.Kabeya: "Blowup rate of solutions to the Brezis-Nirenberg equations with the Robin condition"Funkicialaj Ekvacioj. 45-2. 291-318 (2002)
• [文献書誌] Y.Kabeya: "Behavior of least-energy solutions to Matukuma type equations"Journal of Mathematical Society of Japan. 54-4. 937-973 (2002)